Encontre uma EDO do tipo
que tenha o seguinte sistema fundamental de soluções:
Passo 1
O enunciado pede uma EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes do tipo
que tenha como sistema fundamental de soluções
. Vamos usar a teoria de equações lineares homogêneas com coeficientes constantes e polinômio característico.
Passo 2
Para esse tipo de EDO, lembramos que se o polinômio característico
tiver uma raiz dupla
, então o sistema fundamental de soluções é
. Como aqui as soluções são exatamente
e
, concluímos que a raiz dupla é
.
Passo 3
Vamos construir o polinômio característico com raiz dupla em 5:
Passo 4
Comparando com
, identificamos
Passo 5
Substituindo esses valores na EDO padrão
, obtemos
Resposta
A equação diferencial procurada é
.