Encontre uma EDO do tipo y^prime prime+a y^prime+b y=0 que tenha o seguinte sistema fundamental de soluções:
e^5 x, x e^5 x

Passo 1

O enunciado pede uma EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes do tipo y'' + a y' + b y = 0 que tenha como sistema fundamental de soluções e^5x,; x e^5x. Vamos usar a teoria de equações lineares homogêneas com coeficientes constantes e polinômio característico.

Passo 2

Para esse tipo de EDO, lembramos que se o polinômio característico r^2 + a r + b = 0 tiver uma raiz dupla r0, então o sistema fundamental de soluções é e^r0 x,; x e^r0 x. Como aqui as soluções são exatamente e^5x e x e^5x, concluímos que a raiz dupla é r0 = 5.

Passo 3

Vamos construir o polinômio característico com raiz dupla em 5:
(r - 5)^2 = 0 implies r^2 - 10r + 25 = 0

Passo 4

Comparando com r^2 + a r + b = 0, identificamos
a = -10, b = 25

Passo 5

Substituindo esses valores na EDO padrão y'' + a y' + b y = 0, obtemos
y'' - 10y' + 25y = 0

Resposta

A equação diferencial procurada é y'' - 10y' + 25y = 0.

Exercícios relacionados