Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) y=x^4+x^3-x^2
b) y=2+(x-1)^3
c) y=x-1x+4
d) y=sen(3 x)
e) y=sech(3 x)
f) y=log (x-1)
g) y=argsech(x)
h) y=raiz1-x^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de oito funções diferentes: polinomial de grau 4, cúbica deslocada, função racional, seno de frequência 3, secante hiperbólica, logarítmica deslocada, função inversa de sech e semicircunferência. Para cada uma vamos determinar domínio, interceptos, comportamento em extremos, monotonicidade e assíntotas ou simetrias que ajudem no esboço.

Passo 2

Para y = x^{4} + x^{3} - x^{2}: domínio é
(-infty, +infty)
Tem raízes em x=0 (dupla) e solve x^{2}+x-1=0 → x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}. Como é polinomial de grau 4 com coeficiente positivo, \lim_{x→±∞}y=+∞. Use derivadas para achar extremos locais: y’=4x{3}+3x{2}-2x, resolva y’=0 para esboçar ponto de mínimo global em x>0 e dois pontos críticos adicionais.

Passo 3

Para y=2+(x-1)^{3}: é um polinomial de grau 3 deslocado em x por +1 e em y por +2. Domínio (-∞,∞), inflexão em x=1 com y=2. Como é cúbica com coeficiente positivo, sobe para +∞ e desce para −∞. Passe pelo ponto (1,2). Simetria ímpar em torno de (1,2).

Passo 4

Para y=\frac{x-1}{x+4}: domínio xneq -4. Assíntota vertical em x=-4, oblíqua em y=1 - \frac{5}{x+4} ou faça divisão: y=1 - \frac{5}{x+4}. Passe por (1,0). Para x→±∞, y→1. Estude sinal e decaimento para o esboço.

Passo 5

Para y=\sin(3x): domínio (-∞,∞), período \frac{2\pi}{3}, amplitude 1, passa pela origem. Zeros em x=k\frac{\pi}{3}. Máximos y=1 em x=\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3}, mínimos y=-1 em x=\frac{5\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3}.

Passo 6

Para y=\operatorname{sech}(3x): domínio (-∞,∞), \operatorname{sech}(u)=1/\cosh(u), é simétrica par. Máximo y(0)=1. Decai exponencialmente para 0 conforme |x|→∞. Sem assíntotas além do valor-limite 0.

Passo 7

Para y=\log(x-1): domínio x>1. Assíntota vertical em x=1, cresce indefinidamente de forma lenta, passa por (2,0). Para x→+∞, y→+∞, para x→1^+, y→-∞.

Passo 8

Para y=\operatorname{argsech}(x): domínio 0. Onde \operatorname{sech}(u)=x → u=\operatorname{argsech}(x). Tem assíntota vertical em x→0^+, valor máximo 0 em x=1. Decai de 0 para +∞ conforme x→0+. É estritamente decrescente.

Passo 9

Para y=\sqrt{1-x^{2}}: domínio [-1,1]. É o semicírculo superior de raio 1 centrado na origem. Zeros em x=±1, máximo y=1 em x=0. Concavidade voltada para baixo.

Resposta

a) Gráfico de polinomial grau 4 subindo em ±∞ com raízes em x=0 (dupla) e x=(−1±√5)/2, dois mínimos locais e um máximo local.
b) Cúbica deslocada: inflexão em (1,2), cresce para +∞ e decresce para −∞.
c) Racional com assíntota vertical x=−4 e oblíqua y=1, zero em x=1.
d) Seno de frequência 3: período 2π/3, amplitude 1, zeros a cada π/3.
e) sech(3x): pico em (0,1), decai para 0 exponencialmente, par.
f) log(x−1): domínio x>1, assíntota vertical em x=1, passa por (2,0).
g) argsech(x): domínio (0,1], máximo 0 em x=1, vai para +∞ em x→0+. h) √(1−x²): semicírculo superior de raio 1 em [−1,1], pico em (0,1).

Exercícios relacionados