Exiba os máximos e mínimos da função
, definida no conjunto
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos da função
no conjunto
. O conteúdo principal é a aplicação do Teorema de Weierstrass para funções contínuas em conjuntos compactos, e vamos precisar analisar pontos críticos no interior e avaliar a fronteira de
.
Passo 2
A função
é linear e diferenciável em todo
. Seu gradiente é
$$
abla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)=(1,1).
$$
Como
nunca é o vetor nulo, não há pontos críticos no interior de
. Pelas condições do problema, os extremos só podem ocorrer na fronteira do quadrado.
Passo 3
A fronteira de
é formada pelos quatro vértices
. Vamos calcular
nesses pontos:
Passo 4
Comparando os valores obtidos, o menor valor de
é
em
e o maior valor de
é
em
.
Resposta
Mínimo global:
; Máximo global:
.