Exiba os máximos e mínimos da função f(x, y)=x+y+1, definida no conjunto C=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos da função f(x,y)=x+y+1 no conjunto C=(x,y)inR^2;0<= x<=1,;0<= y<=1. O conteúdo principal é a aplicação do Teorema de Weierstrass para funções contínuas em conjuntos compactos, e vamos precisar analisar pontos críticos no interior e avaliar a fronteira de C.

Passo 2

A função f(x,y)=x+y+1 é linear e diferenciável em todo R^2. Seu gradiente é
$$
abla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)=(1,1).
$$
Como abla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)=(1,1) nunca é o vetor nulo, não há pontos críticos no interior de nabla f. Pelas condições do problema, os extremos só podem ocorrer na fronteira do quadrado.

Passo 3

A fronteira de C é formada pelos quatro vértices (0,0),(0,1),(1,0),(1,1). Vamos calcular f nesses pontos:
f(0,0)=0+0+1=1,
f(0,1)=0+1+1=2,
f(1,0)=1+0+1=2,
f(1,1)=1+1+1=3

Passo 4

Comparando os valores obtidos, o menor valor de f é 1 em (0,0) e o maior valor de f é 3 em (1,1).

Resposta

Mínimo global: f(0,0)=1; Máximo global: f(1,1)=3.

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