Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
f(x, y)=x+3 y+5 y, x^2+y^2+z^2=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de uma função linear sujeita à restrição de ficarmos na esfera de raio 1, usando multiplicadores de Lagrange. A função é f(x,y,z)=x+3y+5z e a restrição é x^2+y^2+z^2=1. Vamos precisar calcular os gradientes de f e da função de restrição g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1 e igualar nabla f=lambdanabla g.

Passo 2

Calculamos os gradientes: nabla f=(1,3,5) e nabla g=(2x,2y,2z). As equações de Lagrange são
1=2lambda x, 3=2lambda y, 5=2lambda z
junto com a restrição
x^2+y^2+z^2=1

Passo 3

Da primeira linha isolamos x,y,z em função de lambda:
x=12lambda, y=32lambda, z=52lambda

Passo 4

Substituindo na restrição:
(12lambda)^2+(32lambda)^2+(52lambda)^2=1

Passo 5

Isso dá
1+9+254lambda^2=1 implies lambda^2=354 implies lambda=pmraiz352

Passo 6

Para lambda=+raiz352 temos o ponto de máximo e f=raiz35. Para lambda=-raiz352 temos o ponto de mínimo e f=-raiz35.

Resposta

O valor máximo de f é raiz35 e o valor mínimo de f é -raiz35.

Exercícios relacionados