Prove por indução as seguintes propriedades do somatório:
(homogeneidade)
Passo 1
A questão pede para provar, por indução matemática, a propriedade de homogeneidade do somatório:
O conteúdo principal aqui é o princípio de indução fraca, que envolve verificar o caso base e o passo indutivo.
Passo 2
Caso base (n=1). Precisamos checar que a igualdade é verdadeira quando n=1. À esquerda temos:
À direita também:
Como os dois lados coincidem, o caso base está OK.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que a propriedade seja válida para algum n≥1, ou seja, assume-se que
Essa é a hipótese que vamos usar para avançar ao passo n+1.
Passo 4
Passo indutivo (n→n+1). Precisamos mostrar que
Começamos pela definição de somatório:
Pelo passo indutivo, podemos substituir o parêntese:
Agora fatoramos c:
Isso fecha o passo indutivo.
Passo 5
Como o caso base e o passo indutivo foram verificados, concluímos por indução matemática que a propriedade vale para todo n∈ℕ.
Resposta
Por indução, vale para todo n que
.