Prove por indução as seguintes propriedades do somatório:
sumk=1^n c ak=c sumk=1^n ak (homogeneidade)

Passo 1

A questão pede para provar, por indução matemática, a propriedade de homogeneidade do somatório:
sumk=1^n c,ak = c sumk=1^n ak
O conteúdo principal aqui é o princípio de indução fraca, que envolve verificar o caso base e o passo indutivo.

Passo 2

Caso base (n=1). Precisamos checar que a igualdade é verdadeira quando n=1. À esquerda temos:
sumk=1^1 c,ak = c,a1
À direita também:
c sumk=1^1 ak = c,a1
Como os dois lados coincidem, o caso base está OK.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que a propriedade seja válida para algum n≥1, ou seja, assume-se que
sumk=1^n c,ak = c sumk=1^n ak
Essa é a hipótese que vamos usar para avançar ao passo n+1.

Passo 4

Passo indutivo (n→n+1). Precisamos mostrar que
sumk=1^n+1 c,ak = c sumk=1^n+1 ak
Começamos pela definição de somatório:
sumk=1^n+1 c,ak = l(sumk=1^n c,akr) + c,an+1
Pelo passo indutivo, podemos substituir o parêntese:
sumk=1^n+1 c,ak = c sumk=1^n ak + c,an+1
Agora fatoramos c:
sumk=1^n+1 c,ak = c l(sumk=1^n ak + an+1r) = c sumk=1^n+1 ak
Isso fecha o passo indutivo.

Passo 5

Como o caso base e o passo indutivo foram verificados, concluímos por indução matemática que a propriedade vale para todo n∈ℕ.

Resposta

Por indução, vale para todo n que sumk=1^n c,ak = c sumk=1^n ak.

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