A equação y^prime prime-2 x y^prime+2 n y=0 é conhecida como a equação de Hermite. Usando o médoto de Frobenius:
(a) Mostre que a sua equação indicial é dada por alpha(alpha-1)=0.
(b) Mostre que a solução geral da equação é dada por
y(x)=A[1+2(-n) x^22!+2^2(-n)(2-n) x^44!+cdots]+B[x+2(1-n) x^33!+2^2(1-n)(3-n) x^55!+cdots]

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Hermite
y''-2x,y'+2n,y=0
usando o método de Frobenius em torno de x=0. Vamos assumir uma solução da forma
y(x)=sumk=0^inftyak,x^k+alpha,
identificar a equação indicial e obter a recorrência dos coeficientes ak.

Passo 2

Calculamos as derivadas
y'=sumk=0^infty (k+alpha),ak,x^,k+alpha-1, y''=sumk=0^infty (k+alpha)(k+alpha-1),ak,x^,k+alpha-2
Substituindo em y''-2x,y'+2n,y=0 temos
sumk=0^infty (k+alpha)(k+alpha-1)ak,x^k+alpha-2 -2sumk=0^infty (k+alpha)ak,x^k+alpha +2nsumk=0^infty ak,x^k+alpha=0
O menor expoente é x^alpha-2, cujo coeficiente é (alpha)(alpha-1)a0. Para anular esse termo exigimos
alpha(alpha-1)a0=0 Longrightarrow alpha(alpha-1)=0

Passo 3

Para alinhar todas as potências em x^k+alpha fazemos o reindexamento no primeiro somatório, obtendo a relação de recorrência
(k+alpha+2)(k+alpha+1),ak+2 +l[2n-2(k+alpha)r]ak=0 Longrightarrow ak+2 =2(k+alpha-n)(k+alpha+2)(k+alpha+1),ak

Passo 4

Caso alpha=0, a recorrência liga apenas coeficientes de índices pares. Tomando a0 arbitrário e definindo A=a0, obtemos
a2=2(0-n)2cdot1A=-n,A, a4=2(2-n)4cdot3,a2 =2^2(-n)(2-n)4!,A,
e, em geral,
ypar(x) =Al[1 +2(-n)2!x^2 +2^2(-n)(2-n)4!x^4 +cdotsr]

Passo 5

Caso alpha=1, a recorrência gera apenas termos de potências ímpares. Tomando a1 arbitrário e definindo B=a1, obtemos
a3=2(1-n)3cdot2B, a5=2(3-n)5cdot4,a3 =2^2(1-n)(3-n)5!B,
e assim por diante, gerando
yímpar(x) =Bl[x +2(1-n)3!x^3 +2^2(1-n)(3-n)5!x^5 +cdotsr] í
Portanto a solução geral é
y(x)=ypar(x)+yímpar(x) =Al[1+2(-n)x^22!+2^2(-n)(2-n)x^44!+cdotsr] +Bl[x+2(1-n)x^33!+2^2(1-n)(3-n)x^55!+cdotsr] í

Resposta

(a) A equação indicial é
alpha(alpha-1)=0
(b) A solução geral é
y(x)=Al[1+2(-n)x^22!+2^2(-n)(2-n)x^44!+cdotsr] +Bl[x+2(1-n)x^33!+2^2(1-n)(3-n)x^55!+cdotsr]

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