A equação
é conhecida como a equação de Hermite. Usando o médoto de Frobenius:
(a) Mostre que a sua equação indicial é dada por
.
(b) Mostre que a solução geral da equação é dada por
(a) Mostre que a sua equação indicial é dada por
(b) Mostre que a solução geral da equação é dada por
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Hermite
usando o método de Frobenius em torno de
. Vamos assumir uma solução da forma
identificar a equação indicial e obter a recorrência dos coeficientes
.
Passo 2
Calculamos as derivadas
Substituindo em
temos
O menor expoente é
, cujo coeficiente é
. Para anular esse termo exigimos
Passo 3
Para alinhar todas as potências em
fazemos o reindexamento no primeiro somatório, obtendo a relação de recorrência
Passo 4
Caso
, a recorrência liga apenas coeficientes de índices pares. Tomando
arbitrário e definindo
, obtemos
e, em geral,
Passo 5
Caso
, a recorrência gera apenas termos de potências ímpares. Tomando
arbitrário e definindo
, obtemos
e assim por diante, gerando
Portanto a solução geral é
Resposta
(a) A equação indicial é
(b) A solução geral é