Encontre a energia potencial de uma casca esférica carregada uniformemente com a carga +q e raios r1 (interno) e r2 (externo)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a energia potencial de uma casca esférica uniformemente carregada com carga +q e raios internos r₁ e externos r₂. Vamos trabalhar com eletrostática, especificamente com conceitos de energia potencial elétrica e distribuição de carga em uma esfera.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a energia potencial eletrostática de uma distribuição de carga pode ser calculada integrando o trabalho necessário para montar essa distribuição. Para uma casca esférica carregada uniformemente, a carga está distribuída apenas na superfície.
Passo 3
Sabemos que a energia potencial (U) de uma distribuição de carga pode ser expressa como:
onde $ \rho(\vec{r}) $ é a densidade de carga e $ V(\vec{r}) $ é o potencial elétrico.
Passo 4
No caso de uma casca esférica, a densidade de carga superficial $ \sigma $ é:
onde $ r $ é o raio da casca. Como a carga está na superfície, a energia potencial se relaciona apenas com o potencial na superfície.
Passo 5
O potencial elétrico devido a uma carga pontual ou uma distribuição esférica no exterior é:
Dentro da casca esférica (para $ r < r_1 $), o potencial é constante e igual ao potencial na superfície externa devido à simetria.
Passo 6
Então, a energia potencial total da casca esférica é:
Substituindo $ V $ pela expressão do potencial na superfície:
Resposta
Portanto, a energia potencial da casca esférica é: