Encontre a energia potencial de uma casca esférica carregada uniformemente com a carga +q e raios r1 (interno) e r2 (externo)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a energia potencial de uma casca esférica uniformemente carregada com carga +q e raios internos r₁ e externos r₂. Vamos trabalhar com eletrostática, especificamente com conceitos de energia potencial elétrica e distribuição de carga em uma esfera.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a energia potencial eletrostática de uma distribuição de carga pode ser calculada integrando o trabalho necessário para montar essa distribuição. Para uma casca esférica carregada uniformemente, a carga está distribuída apenas na superfície.

Passo 3

Sabemos que a energia potencial (U) de uma distribuição de carga pode ser expressa como:
U = 12 integral rho(r) V(r) , dtau
onde $ \rho(\vec{r}) $ é a densidade de carga e $ V(\vec{r}) $ é o potencial elétrico.

Passo 4

No caso de uma casca esférica, a densidade de carga superficial $ \sigma $ é:
sigma
onde $ r $ é o raio da casca. Como a carga está na superfície, a energia potencial se relaciona apenas com o potencial na superfície.

Passo 5

O potencial elétrico devido a uma carga pontual ou uma distribuição esférica no exterior é:
V = 14pivarepsilon0 cdot qr
Dentro da casca esférica (para $ r < r_1 $), o potencial é constante e igual ao potencial na superfície externa devido à simetria.

Passo 6

Então, a energia potencial total da casca esférica é:
U = 12 cdot q cdot V
Substituindo $ V $ pela expressão do potencial na superfície:
V

Resposta

Portanto, a energia potencial da casca esférica é:
U = q^28pivarepsilon0 r2

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