Um andaime uniforme de
de comprimento de
é suportado por dois cabos ideais. Um pintor de
fica a
da extremidade esquerda do andaime e seu equipamento de pintura fica a
da extremidade direita. Se a tensão no cabo esquerdo for o dobro da tensão no cabo direito, encontre a massa do equipamento.
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um andaime uniforme de 40,0 kg com comprimento de 6,0 m, sustentado por dois cabos ideais: um à esquerda e outro à direita. Um pintor de 80,0 kg está a 1,0 m da extremidade esquerda, e seu equipamento de pintura está a 1,5 m da extremidade direita. Sabemos que a tensão no cabo esquerdo é o dobro da tensão no cabo direito. Nosso objetivo é encontrar a massa do equipamento de pintura.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática, especificamente o equilíbrio de forças e momentos (ou torques). Vamos analisar as forças atuantes no andaime e aplicar as condições de equilíbrio para encontrar a massa desconhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no sistema:
- Peso do andaime: $ P_a = m_a \times g $, onde $ m_a = 40,0 , kg $ e $ g = 9,81 , m/s² $.
- Peso do pintor: $ P_p = m_p \times g $, onde $ m_p = 80,0 , kg $.
- Peso do equipamento: $ P_e = m_e \times g $, onde $ m_e $ é a massa que queremos encontrar.
- Tensões nos cabos: $ T_1 $ no cabo esquerdo e $ T_2 $ no cabo direito, com $ T_1 = 2T_2 $.
Passo 3
Vamos determinar os pontos onde cada força está atuando:
- O centro de massa do andaime está no meio, ou seja, a 3,0 m de cada extremidade.
- O pintor está a 1,0 m da extremidade esquerda.
- O equipamento está a 1,5 m da extremidade direita, o que equivale a 4,5 m da extremidade esquerda (já que o total é 6,0 m).
Passo 4
Para garantir que o sistema esteja em equilíbrio, as somas das forças verticais e dos momentos em torno de um ponto devem ser iguais a zero.
Equilíbrio das forças verticais:
Equilíbrio dos momentos:
Podemos escolher um ponto para calcular os momentos. Vamos escolher a posição do cabo direito para simplificar os cálculos, já que a tensão $ T_2 $ causará momento zero nesse ponto.
Podemos escolher um ponto para calcular os momentos. Vamos escolher a posição do cabo direito para simplificar os cálculos, já que a tensão $ T_2 $ causará momento zero nesse ponto.
Passo 5
Calculando os momentos em torno do cabo direito:
Aqui, consideramos:
- A distância do cabo esquerdo ao cabo direito: 6,0 m.
- O andaime está a 3,0 m do cabo direito.
- O pintor está a 5,0 m do cabo direito.
- O equipamento está a 1,5 m do cabo direito.
Passo 6
Substituindo $ T_1 = 2T_2 $ na equação dos momentos:
Vamos simplificar essa equação:
Passo 7
Calculando os valores numéricos:
- $ 40,0 \times 9,81 \times 3,0 = 1179,6 , N $
- $ 80,0 \times 9,81 \times 5,0 = 3924,0 , N $
- $ 1,5 \times 9,81 = 14,715 , N/kg $
Substituindo na equação:
Passo 8
Agora, rearranjamos para encontrar $ T_2 $:
Passo 9
Vamos agora usar a equação do equilíbrio das forças verticais:
Passo 10
Substituindo $ T_2 $ da equação anterior:
Passo 11
Isolando $ m_e $:
Resposta
A massa do equipamento de pintura é aproximadamente 16,1 kg.