Um andaime uniforme de 40,0 kg de comprimento de 6,0 m é suportado por dois cabos ideais. Um pintor de 80,0 kg fica a 1,0 m da extremidade esquerda do andaime e seu equipamento de pintura fica a 1,5 m da extremidade direita. Se a tensão no cabo esquerdo for o dobro da tensão no cabo direito, encontre a massa do equipamento.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um andaime uniforme de 40,0 kg com comprimento de 6,0 m, sustentado por dois cabos ideais: um à esquerda e outro à direita. Um pintor de 80,0 kg está a 1,0 m da extremidade esquerda, e seu equipamento de pintura está a 1,5 m da extremidade direita. Sabemos que a tensão no cabo esquerdo é o dobro da tensão no cabo direito. Nosso objetivo é encontrar a massa do equipamento de pintura.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática, especificamente o equilíbrio de forças e momentos (ou torques). Vamos analisar as forças atuantes no andaime e aplicar as condições de equilíbrio para encontrar a massa desconhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no sistema:
  1. Peso do andaime: $ P_a = m_a \times g $, onde $ m_a = 40,0 , kg $ e $ g = 9,81 , m/s² $.
  2. Peso do pintor: $ P_p = m_p \times g $, onde $ m_p = 80,0 , kg $.
  3. Peso do equipamento: $ P_e = m_e \times g $, onde $ m_e $ é a massa que queremos encontrar.
  4. Tensões nos cabos: $ T_1 $ no cabo esquerdo e $ T_2 $ no cabo direito, com $ T_1 = 2T_2 $.

Passo 3

Vamos determinar os pontos onde cada força está atuando:
  • O centro de massa do andaime está no meio, ou seja, a 3,0 m de cada extremidade.
  • O pintor está a 1,0 m da extremidade esquerda.
  • O equipamento está a 1,5 m da extremidade direita, o que equivale a 4,5 m da extremidade esquerda (já que o total é 6,0 m).

Passo 4

Para garantir que o sistema esteja em equilíbrio, as somas das forças verticais e dos momentos em torno de um ponto devem ser iguais a zero.
Equilíbrio das forças verticais:
T1 + T2 = Pa + Pp + Pe
Equilíbrio dos momentos:
Podemos escolher um ponto para calcular os momentos. Vamos escolher a posição do cabo direito para simplificar os cálculos, já que a tensão $ T_2 $ causará momento zero nesse ponto.

Passo 5

Calculando os momentos em torno do cabo direito:
T1 times 6,0 , m - Pa times 3,0 , m - Pp times 5,0 , m - Pe times 1,5 , m = 0
Aqui, consideramos:
  • A distância do cabo esquerdo ao cabo direito: 6,0 m.
  • O andaime está a 3,0 m do cabo direito.
  • O pintor está a 5,0 m do cabo direito.
  • O equipamento está a 1,5 m do cabo direito.

Passo 6

Substituindo $ T_1 = 2T_2 $ na equação dos momentos:
T1 = 2T2
Vamos simplificar essa equação:
2T2 times 6,0 - (40,0 times 9,81) times 3,0 - (80,0 times 9,81) times 5,0 - (me times 9,81) times 1,5 = 0

Passo 7

Calculando os valores numéricos:
  • $ 40,0 \times 9,81 \times 3,0 = 1179,6 , N $
  • $ 80,0 \times 9,81 \times 5,0 = 3924,0 , N $
  • $ 1,5 \times 9,81 = 14,715 , N/kg $
Substituindo na equação:
40,0 times 9,81 times 3,0 = 1179,6 , N

Passo 8

Agora, rearranjamos para encontrar $ T_2 $:
T2
12T2 = 1179,6 + 3924,0 + 14,715me
T2 = 1179,6 + 3924,0 + 14,715me12

Passo 9

Vamos agora usar a equação do equilíbrio das forças verticais:
T1 + T2 = Pa + Pp + Pe
2T2 + T2 = 40,0 times 9,81 + 80,0 times 9,81 + me times 9,81
3T2 = 392,4 + 784,8 + 9,81me
3T2 = 1177,2 + 9,81me

Passo 10

Substituindo $ T_2 $ da equação anterior:
T2
3 ( 5103,6 + 14,715me12 ) = 1177,2 + 9,81me
3 times (5103,6 + 14,715me)12 = 1177,2 + 9,81me
15310,8 + 44,145me12 = 1177,2 + 9,81me

Passo 11

Isolando $ m_e $:
me
1275,9 - 1177,2 = 9,81me - 3,67875me
98,7 = 6,13125me
me = 98,76,13125

Resposta

A massa do equipamento de pintura é aproximadamente 16,1 kg.

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