Encontre a energia potencial de um disco uniformemente carregado com carga +q e raio R?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a energia potencial de um disco uniformemente carregado com carga +q e raio R. Estamos lidando com eletrostática, especificamente com a energia armazenada em uma distribuição de carga. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia potencial elétrica de uma distribuição contínua de carga, e vamos fazer isso dividindo o disco em anéis infinitesimais para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial elétrica $ U $ de uma distribuição de carga pode ser calculada pela fórmula:
Aqui, $ \sigma® $ é a densidade de carga superficial do disco, $ V® $ é o potencial elétrico na posição $ r $, e $ dA $ é um elemento de área do disco.
Passo 3
Como o disco é uniformemente carregado, a densidade de carga superficial $ \sigma $ é constante e pode ser calculada por:
Onde $ q $ é a carga total e $ \pi R^2 $ é a área do disco.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos considerar o disco como uma série de anéis concêntricos de raio $ r $ e espessura $ dr $. A área de um anel infinitesimal é $ dA = 2\pi r , dr $. A carga no anel será $ dQ = \sigma , dA = \sigma \cdot 2\pi r , dr $.
Passo 5
O potencial elétrico $ dV $ devido a um anel de carga $ dQ $ na superfície do disco pode ser calculado usando a fórmula do potencial para um anel:
Como estamos calculando na superfície do disco, $ z = 0 $, então:
Substituindo $ dQ $:
Passo 6
Agora, substituímos $ dV $ na expressão da energia potencial:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo a integral:
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, substituímos $ \sigma = \frac{q}{\pi R^2} $ na expressão:
Resposta
A energia potencial do disco uniformemente carregado é: