Encontre a energia potencial de um disco uniformemente carregado com carga +q e raio R?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a energia potencial de um disco uniformemente carregado com carga +q e raio R. Estamos lidando com eletrostática, especificamente com a energia armazenada em uma distribuição de carga. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia potencial elétrica de uma distribuição contínua de carga, e vamos fazer isso dividindo o disco em anéis infinitesimais para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial elétrica $ U $ de uma distribuição de carga pode ser calculada pela fórmula:
U
Aqui, $ \sigma® $ é a densidade de carga superficial do disco, $ V® $ é o potencial elétrico na posição $ r $, e $ dA $ é um elemento de área do disco.

Passo 3

Como o disco é uniformemente carregado, a densidade de carga superficial $ \sigma $ é constante e pode ser calculada por:
sigma
Onde $ q $ é a carga total e $ \pi R^2 $ é a área do disco.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos considerar o disco como uma série de anéis concêntricos de raio $ r $ e espessura $ dr $. A área de um anel infinitesimal é $ dA = 2\pi r , dr $. A carga no anel será $ dQ = \sigma , dA = \sigma \cdot 2\pi r , dr $.

Passo 5

O potencial elétrico $ dV $ devido a um anel de carga $ dQ $ na superfície do disco pode ser calculado usando a fórmula do potencial para um anel:
dV
Como estamos calculando na superfície do disco, $ z = 0 $, então:
dQ
Substituindo $ dQ $:
dV = k , dQraizr^2 + z^2

Passo 6

Agora, substituímos $ dV $ na expressão da energia potencial:
dV
Simplificando:
U = 12 integral sigma cdot dV cdot dA = 12 integral sigma cdot 2pi k sigma , dr cdot 2pi r , dr

Passo 7

Resolvendo a integral:
integral0^R r , dr = R^22
Substituindo de volta:
U = pi k sigma^2 cdot R^22 = pi k sigma^2 R^22

Passo 8

Agora, substituímos $ \sigma = \frac{q}{\pi R^2} $ na expressão:
sigma = qpi R^2

Resposta

A energia potencial do disco uniformemente carregado é:
U = k q^22pi R^2

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