Encontre a energia potencial de um fio infinito uniformemente carregado com carga +q ? A energia potencial de interação entre as cargas pode ser calculada diretamente para esse caso?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrarmos a energia potencial de um fio infinito que está uniformemente carregado com carga $ +q $. Vamos trabalhar com conceitos de Eletrostática, especificamente com energia potencial elétrica e campos elétricos. Para isso, vamos precisar entender como calcular a energia potencial de um sistema de cargas e aplicar isso a um fio que se estende infinitamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a energia potencial elétrica ($ U $) de um sistema de cargas pode ser calculada usando a fórmula:
U
onde:
  • $ \rho(\mathbf{r}) $ é a densidade de carga.
  • $ V(\mathbf{r}) $ é o potencial elétrico no ponto $ \mathbf{r} $.
  • A integral é feita sobre todo o volume do sistema.
No caso de um fio infinito com carga $ +q $, temos que considerar a simetria do problema. Como o fio é infinito e uniformemente carregado, o potencial elétrico ao redor dele dependerá apenas da distância radial $ r $ a partir do fio.

Passo 3

Para um fio infinito com densidade linear de carga $ \lambda $ (carga por unidade de comprimento), o campo elétrico $ E $ a uma distância $ r $ do fio é dado por:
lambda
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
O potencial elétrico $ V® $ pode ser encontrado integrando o campo elétrico:
E
Aqui, $ C $ é a constante de integração, que normalmente é escolhida com base em uma referência de potencial.

Passo 4

Agora, para calcular a energia potencial $ U $ do sistema, vamos usar a expressão mencionada no Passo 2. Substituindo $ \rho(\mathbf{r}) $ por $ \lambda $ ao longo do fio e $ V® $ pela expressão que encontramos:
U
onde $ dl $ é um elemento de comprimento do fio. Substituindo $ V® $:
rho(r)

Passo 5

Aqui encontramos um problema: o fio é infinito, o que significa que a integral para calcular a energia potencial se estende de -infty a +infty. Isso leva a uma divergência, ou seja, a energia potencial $ U $ tende ao infinito. Em termos físicos, isso faz sentido porque, para um fio infinito, a quantidade de carga e a interação entre elas também são infinitas.

Passo 6

Portanto, concluímos que a energia potencial de um fio infinito uniformemente carregado com carga $ +q $ é infinita. Isso mostra que, para sistemas de cargas infinitas, calcular a energia potencial de interação diretamente resulta em um valor não finito.

Resposta

A energia potencial de um fio infinito uniformemente carregado com carga $ +q $ é infinita. Portanto, a energia potencial de interação entre as cargas não pode ser calculada diretamente nesse caso.

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