Encontre a energia potencial de um fio finito uniformemente carregado com carga +q e comprimento L?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio finito, com comprimento $ L $, que está carregado de forma uniforme, com uma carga total de $ +q $. O conteúdo da matéria aqui é a energia potencial eletrostática de um sistema de cargas. Para resolver essa questão, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo integral e eletrostática, especificamente a fórmula para a energia potencial de uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Vamos começar determinando a densidade linear de carga, $ \lambda $, que é a carga por unidade de comprimento do fio. Como a carga está distribuída de forma uniforme ao longo do comprimento $ L $, temos:
lambda

Passo 3

A energia potencial eletrostática, $ U $, de uma distribuição contínua de carga pode ser calculada integrando as interações entre todos os pares de elementos de carga no fio. A fórmula geral para a energia potencial de uma distribuição contínua é:
U
onde:
  • $ \lambda $ é a densidade linear de carga,
  • $ \epsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo,
  • $ r $ é a distância entre dois pontos no fio,
  • $ dx $ e $ dx’ $ são elementos infinitesimais de comprimento do fio.

Passo 4

Vamos parametrizar o fio ao longo do eixo $ x $, de $ x = 0 $ a $ x = L $. A distância $ r $ entre dois pontos $ x $ e $ x’ $ no fio é dada por:
x
Substituindo isso na expressão da energia potencial, temos:
x = 0

Passo 5

Devido à simetria da função $ \frac{1}{|x - x’|} $, podemos simplificar a integral dobrando a integração apenas para $ x’ > x $:
1|x - x'|

Passo 6

Vamos resolver a integral interna $ \int_{x}^{L} \frac{1}{x’ - x} , dx’ $. Substituindo $ u = x’ - x $, temos:
integralx^L 1x' - x , dx'
Observamos que $ \ln(0) $ tende ao infinito, indicando uma divergência. Isso ocorre porque estamos considerando a interação de cada elemento de carga consigo mesmo, o que na realidade não contribui para a energia total.

Passo 7

Para evitar a divergência, descartamos a auto-interação e focamos apenas nas interações entre diferentes elementos de carga. A integral então se torna finita e podemos calcular a energia potencial total:
U = lambda^24piepsilon0 integral0^L ln(Lx) , dx
Substituindo $ \lambda = \frac{q}{L} $:
lambda = qL
Resolvendo a integral, obtemos:
U = q^24piepsilon0 L^2 integral0^L ln(Lx) , dx

Resposta

A energia potencial do fio finito uniformemente carregado é:
U = q^24piepsilon0 L

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