Encontre o potencial elétrico de um disco carregado uniformemente, com carga +q e raio R, em um ponto no eixo perpendicular ao centro do disco?

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de Eletrostática, que é a parte da física que estuda as cargas elétricas em repouso e os campos que elas geram. O problema é encontrar o potencial elétrico gerado por um disco carregado de carga total +q e raio R, num ponto que está no eixo perpendicular ao centro do disco. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de campo elétrico, potencial elétrico e integração sobre uma distribuição de carga contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V devido a uma distribuição de carga é dado pela integral da contribuição de cada elemento de carga. Matematicamente, isso é expresso como:
V = 14piepsilon0 integral dqr
onde dq é um elemento de carga e r é a distância desse elemento até o ponto onde queremos calcular o potencial.

Passo 3

No caso do disco carregado, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas, já que temos simetria circular. Vamos considerar um elemento anular no disco com raio s e espessura ds. A carga nesse anel é dq = sigma cdot 2pi s , ds, onde sigma é a densidade superficial de carga.

Passo 4

A densidade superficial de carga sigma é a carga total dividida pela área do disco:
sigma = qpi R^2
Então, substituindo na expressão de dq:
dq = qpi R^2 cdot 2pi s , ds = 2q sR^2 , ds

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a distância r do elemento de carga até o ponto no eixo. Se o ponto está a uma distância z do centro do disco, então, pelo teorema de Pitágoras:
r = raizz^2 + s^2

Passo 6

Substituindo dq e r na expressão do potencial:
V = 14piepsilon0 integral0^R 2q sR^2 raizz^2 + s^2 , ds
Vamos simplificar:
V = q2piepsilon0 R^2 integral0^R sraizz^2 + s^2 , ds

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
u = z^2 + s^2 Rightarrow du = 2s , ds Rightarrow s , ds = du2
Os limites de integração mudam para u(z=0) = z^2 e u(z=R) = z^2 + R^2.

Passo 8

A integral fica:
integralz^2^z^2 + R^2 12raizu , du = 12 cdot 2 raizu g|z^2^z^2 + R^2 = raizz^2 + R^2 - z

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do potencial:
V = q2piepsilon0 R^2 ( raizz^2 + R^2 - z )

Resposta

O potencial elétrico no ponto desejado é dado por:
V = q2piepsilon0 R^2 ( raizz^2 + R^2 - z )

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