Encontre o potencial elétrico de um disco carregado uniformemente, com carga +q e raio
, em um ponto no eixo perpendicular ao centro do disco?
Passo 1
Então, a gente tem aqui um exercício de Eletrostática, que é a parte da física que estuda as cargas elétricas em repouso e os campos que elas geram. O problema é encontrar o potencial elétrico gerado por um disco carregado de carga total +q e raio
, num ponto que está no eixo perpendicular ao centro do disco. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de campo elétrico, potencial elétrico e integração sobre uma distribuição de carga contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
devido a uma distribuição de carga é dado pela integral da contribuição de cada elemento de carga. Matematicamente, isso é expresso como:
onde
é um elemento de carga e
é a distância desse elemento até o ponto onde queremos calcular o potencial.
Passo 3
No caso do disco carregado, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas, já que temos simetria circular. Vamos considerar um elemento anular no disco com raio
e espessura
. A carga nesse anel é
, onde
é a densidade superficial de carga.
Passo 4
A densidade superficial de carga
é a carga total dividida pela área do disco:
Então, substituindo na expressão de
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a distância
do elemento de carga até o ponto no eixo. Se o ponto está a uma distância
do centro do disco, então, pelo teorema de Pitágoras:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão do potencial:
Vamos simplificar:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Os limites de integração mudam para
e
.
Passo 8
A integral fica:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão do potencial:
Resposta
O potencial elétrico no ponto desejado é dado por: