Encontre a energia potencial de um anel uniformemente carregado com carga
e raio a, com o eixo z passando pelo centro do anel?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um anel com carga positiva total +q e raio “a”. O eixo z passa pelo centro desse anel. Nosso objetivo é encontrar a energia potencial elétrica desse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a energia potencial de sistemas de cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial elétrica $ U $ entre duas cargas é dada por:
onde $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas e $ r $ é a distância entre elas. No caso de uma distribuição contínua de carga, a gente integra essa expressão sobre toda a distribuição.
Passo 3
Para um anel uniformemente carregado, podemos considerar que cada elemento de carga $ dq $ interage com um elemento de carga $ dq’ $. A distância entre dois pontos no anel vai depender do ângulo entre eles. Porém, devido à simetria, só vamos precisar calcular a interação de um elemento com todos os outros.
Passo 4
A energia potencial total $ U $ do anel pode ser calculada integrando a energia potencial entre todos os pares de cargas:
A constante $ \frac{1}{2} $ evita contar cada interação duas vezes.
Passo 5
No caso do anel, a distância entre dois pontos quaisquer no anel pode ser expressa em termos do ângulo $ \theta $ entre eles:
Então, a expressão para a energia potencial fica:
Passo 6
Como o anel é uniformemente carregado, podemos dizer que a densidade linear de carga $ \lambda $ é:
Assim, $ dq = \lambda a d\theta = \frac{q}{2\pi} d\theta $.
Passo 7
Substituindo $ dq $ e $ dq’ $ na expressão de $ U $:
Devido à periodicidade, podemos simplificar usando a simetria e considerar apenas a diferença $ \phi = |\theta - \theta’| $.
Passo 8
Após simplificações matemáticas envolvendo integrais trigonométricas, chegamos à expressão final para a energia potencial do anel uniformemente carregado:
Resposta
A energia potencial do anel uniformemente carregado é: