Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
Normalize
. (Isto é, calcule A. É muito fácil se você explorar a ortonormalidade de
e
. Lembre-se de que, tendo normalizado
em
, você pode ter certeza de que ela permanecerá normalizada. Se tiver dúvidas, verifique-o explicitamente após resolver a parte (b).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula num poço quadrado infinito, e a função de onda inicial dela é uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários. Isso significa que a função de onda é a soma das duas primeiras funções de onda estacionárias, multiplicadas por uma constante $ A $. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor dessa constante $ A $ para que a função de onda seja normalizada. Para isso, vamos precisar usar a propriedade de ortonormalidade das funções de onda estacionárias, que basicamente diz que funções de estados diferentes são perpendiculares e têm norma 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. Normalizar quer dizer que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é igual a 1. Matematicamente, isso é expresso pela integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço ser igual a 1:
Onde $ L $ é o comprimento do poço infinito.
Passo 3
Agora, substituímos a função de onda dada na integral:
Como $ A $ é uma constante, podemos tirá-lo da integral:
Passo 4
Expandindo o quadrado dentro da integral:
Agora, podemos separar a integral em três partes:
Passo 5
Sabemos que as funções de onda estacionárias são ortonormais, ou seja:
Onde $ \delta_{nm} $ é a delta de Kronecker, que é 1 se $ n = m $ e 0 caso contrário. Então:
- $ \int_{0}^{L} \psi_{1}^2(x) dx = 1 $
- $ \int_{0}^{L} \psi_{2}^2(x) dx = 1 $
- $ \int_{0}^{L} \psi_{1}(x)\psi_{2}(x) dx = 0 $
Passo 6
Aplicando essas relações na nossa equação:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para $ A $:
Portanto:
Resposta
O valor de $ A $ que normaliza a função de onda $ \Psi(x, 0) $ é: