Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
Psi(x, 0)=A[psi1(x)+psi2(x)]
Normalize psi(x, 0). (Isto é, calcule A. É muito fácil se você explorar a ortonormalidade de psi1 e psi2. Lembre-se de que, tendo normalizado psi em t=0, você pode ter certeza de que ela permanecerá normalizada. Se tiver dúvidas, verifique-o explicitamente após resolver a parte (b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula num poço quadrado infinito, e a função de onda inicial dela é uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários. Isso significa que a função de onda é a soma das duas primeiras funções de onda estacionárias, multiplicadas por uma constante $ A $. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor dessa constante $ A $ para que a função de onda seja normalizada. Para isso, vamos precisar usar a propriedade de ortonormalidade das funções de onda estacionárias, que basicamente diz que funções de estados diferentes são perpendiculares e têm norma 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. Normalizar quer dizer que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é igual a 1. Matematicamente, isso é expresso pela integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço ser igual a 1:
integral0^L |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
Onde $ L $ é o comprimento do poço infinito.

Passo 3

Agora, substituímos a função de onda dada na integral:
integral0^L | A [ psi1(x) + psi2(x) ] |^2 dx = 1
Como $ A $ é uma constante, podemos tirá-lo da integral:
A

Passo 4

Expandindo o quadrado dentro da integral:
A^2 integral0^L ( psi1^2(x) + 2psi1(x)psi2(x) + psi2^2(x) ) dx = 1
Agora, podemos separar a integral em três partes:
A^2 [ integral0^L psi1^2(x) dx + 2 integral0^L psi1(x)psi2(x) dx + integral0^L psi2^2(x) dx ] = 1

Passo 5

Sabemos que as funções de onda estacionárias são ortonormais, ou seja:
integral0^L psin(x)psim(x) dx = de
Onde $ \delta_{nm} $ é a delta de Kronecker, que é 1 se $ n = m $ e 0 caso contrário. Então:
  • $ \int_{0}^{L} \psi_{1}^2(x) dx = 1 $
  • $ \int_{0}^{L} \psi_{2}^2(x) dx = 1 $
  • $ \int_{0}^{L} \psi_{1}(x)\psi_{2}(x) dx = 0 $

Passo 6

Aplicando essas relações na nossa equação:
A^2 [ 1 + 2 times 0 + 1 ] = 1
Simplificando:
A^2 times 2 = 1

Passo 7

Resolvendo para $ A $:
A
Portanto:
A^2 = 12

Resposta

O valor de $ A $ que normaliza a função de onda $ \Psi(x, 0) $ é:
A

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