Fn é o determinante da matriz tridiagonal 1,1,-1 de ordem n :
F2=|cc 1 & -1 1 & 1 |=2 F3=|ccc 1 & -1 & 0 1 & 1 & -1 0 & 1 & 1 |=3 F4=|cccc 1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & -1 0 & 0 & 1 & 1 | neq 4
Expanda em cofatores para mostrar que Fn=Fn-1+Fn-2. Esses determinantes são números de Fibonacci 1,2,3,5,8,13, ldots A sequência geralmente começa 1,1,2,3 (com dois 1 's) então nosso Fn é o Fn+1 usual.

Passo 1

O enunciado define Fn como o determinante da matriz tridiagonal de ordem n com entradas 1 na diagonal principal, 1 na subdiagonal e -1 na superdiagonal. Queremos mostrar que esses determinantes satisfazem a recorrência de Fibonacci
Fn=Fn-1+Fn-2,
usando expansão por cofatores.

Passo 2

Para expandir Fn por cofatores na primeira linha, note que só há dois elementos não nulos: a1,1=1 e a1,2=-1. Assim,
Fn = a1,1,C1,1 ;+; a1,2,C1,2,
onde Ci,j=(-1)^i+jMi,j e Mi,j é o menor que exclui a linha i e a coluna j.

Passo 3

O primeiro termo é
a1,1,C1,1 =1cdot (+1)cdotdetl(matriz tridiagonal de ordem n-1r) =Fn-1

Passo 4

O segundo termo é
a1,2,C1,2 =(-1)cdot(-1)^1+2cdotdetl(matriz tridiagonal de ordem n-2r) =(-1)cdot(-1)cdot Fn-2 =Fn-2

Passo 5

Somando os dois termos obtemos
Fn=Fn-1+Fn-2,
que é justamente a relação de recorrência dos números de Fibonacci.

Resposta

Fn=Fn-1+Fn-2

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