Encontre a equação do plano tangente a cada uma das superfícies abaixo, passando pelo ponto especificado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície dada pela equação $ z = x^{2} + \sin(x+y) + y^{2} $ que passa pelo ponto $ P = (0, 0, 0) $. Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudarão a determinar a inclinação do plano tangente naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função $ z = f(x, y) = x^{2} + \sin(x+y) + y^{2} $ com relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dão a taxa de variação de $ z $ em relação a cada variável, mantendo a outra constante.
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
z = f(x, y) = x^2 + sin(x+y) + y^2
Calculando a derivada parcial em relação a $ y $:
x

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ P = (0, 0, 0) $. Isso significa substituir $ x = 0 $ e $ y = 0 $ nas expressões das derivadas.
Para $ f_x $ em $ (0, 0) $:
P = (0, 0, 0)
Para $ f_y $ em $ (0, 0) $:
x = 0

Passo 4

Com as derivadas parciais avaliadas, podemos usar a fórmula do plano tangente em torno do ponto $ (x_0, y_0, z_0) $:
(x0, y0, z0)
No nosso caso, $ P = (0, 0, 0) $, então $ x_0 = 0 $, $ y_0 = 0 $ e $ z_0 = 0 $. Substituindo na fórmula:
z = z0 + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
P = (0, 0, 0)

Resposta

A equação do plano tangente é $ z = x + y $.

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