Sejam
e
funções reais deriváveis. Calcule a derivada em relação a
e
das funções abaixo:
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para calcularmos as derivadas parciais da função $ h(x, y) = f(x \cdot g(y)) $ em relação a $ x $ e $ y $. Estamos lidando com derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ h $ em relação a $ x $. Aqui, tratamos $ y $ como uma constante. A função interna é $ x \cdot g(y) $, então, pela regra da cadeia, a derivada de $ f(u) $ onde $ u = x \cdot g(y) $ é $ f’(u) $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ x $.
Passo 3
Calculando a derivada de $ u = x \cdot g(y) $ em relação a $ x $, temos que $ g(y) $ é constante em relação a $ x $. Portanto, $ \frac{\partial u}{\partial x} = g(y) $.
Passo 4
Agora, juntando tudo, a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $ fica:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a derivada de $ h $ em relação a $ y $. Aqui, $ x $ é constante. Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ f(u) $ onde $ u = x \cdot g(y) $ é $ f’(u) $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ y $.
Passo 6
Calculando a derivada de $ u = x \cdot g(y) $ em relação a $ y $, temos que $ x $ é constante. Então, $ \frac{\partial u}{\partial y} = x \cdot g’(y) $.
Passo 7
Agora, juntando tudo, a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $ fica:
Resposta
As derivadas parciais de $ h(x, y) = f(x \cdot g(y)) $ são:
e