Verifique que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para verificarmos que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a 2. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, onde analisamos o comportamento da função à medida que os pontos
se aproximam de um ponto específico, neste caso,
. Para resolver isso, precisamos entender como calcular limites para funções de várias variáveis e aplicar esse conhecimento para encontrar o valor pedido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o limite de uma função
quando
se aproxima de
é o valor que
tende a assumir conforme
chega cada vez mais perto de
. Formalmente, dizemos que:
se para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
e queremos encontrar o limite quando
. Vamos substituir
por 1 e
por 1 na função para ver o que acontece:
Isso sugere que o limite é 2, mas precisamos confirmar que isso é realmente o caso.
Passo 4
Para confirmar, vamos avaliar o comportamento da função próximo ao ponto
. Vamos considerar pequenos incrementos
e
onde
e
, com
e
tendendo a 0. Substituindo na função:
À medida que
e
tendem a 0, os termos
,
,
e
também tendem a 0. Portanto, a expressão se aproxima de 2.
Passo 5
Além disso, podemos considerar diferentes caminhos para
se aproximando de
e verificar se o limite é o mesmo. Por exemplo:
- Se
e :
- Se
e :
- Se
e :
Em todos os casos, o limite é 2, o que confirma que o limite existe e é igual a 2.
Resposta
Portanto, verificamos que: