Verifique que:
lim (x, y) (1,1)(x^2+y^2)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para verificarmos que o limite de x^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (1, 1) é igual a 2. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, onde analisamos o comportamento da função à medida que os pontos (x, y) se aproximam de um ponto específico, neste caso, (1, 1). Para resolver isso, precisamos entender como calcular limites para funções de várias variáveis e aplicar esse conhecimento para encontrar o valor pedido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o limite de uma função f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) é o valor que f(x, y) tende a assumir conforme (x, y) chega cada vez mais perto de (a, b). Formalmente, dizemos que:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = L
se para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que sempre que raiz(x - a)^2 + (y - b)^2 < de, então |f(x, y) - L| < varepsilon.

Passo 3

No nosso caso, a função é f(x, y) = x^2 + y^2 e queremos encontrar o limite quando (x, y) to (1, 1). Vamos substituir x por 1 e y por 1 na função para ver o que acontece:
f(1, 1) = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2
Isso sugere que o limite é 2, mas precisamos confirmar que isso é realmente o caso.

Passo 4

Para confirmar, vamos avaliar o comportamento da função próximo ao ponto (1, 1). Vamos considerar pequenos incrementos h e k onde x = 1 + h e y = 1 + k, com h e k tendendo a 0. Substituindo na função:
f(1 + h, 1 + k) = (1 + h)^2 + (1 + k)^2 = 1 + 2h + h^2 + 1 + 2k + k^2 = 2 + 2h + 2k + h^2 + k^2
À medida que h e k tendem a 0, os termos 2h, 2k, h^2 e k^2 também tendem a 0. Portanto, a expressão se aproxima de 2.

Passo 5

Além disso, podemos considerar diferentes caminhos para (x, y) se aproximando de (1, 1) e verificar se o limite é o mesmo. Por exemplo:
  • Se x = 1 e y to 1:
f(1, y) = 1^2 + y^2 to 1 + 1 = 2
  • Se y = 1 e x to 1:
f(x, 1) = x^2 + 1^2 to 1 + 1 = 2
  • Se x = y e x to 1:
f(x, x) = x^2 + x^2 = 2x^2 to 2(1) = 2
Em todos os casos, o limite é 2, o que confirma que o limite existe e é igual a 2.

Resposta

Portanto, verificamos que:
lim(x, y) to (1, 1) (x^2 + y^2) = 2

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