Em cada parte, calcule a potência indicada de
A=[rrr 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ]
(c) A^2301

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^2301, onde
A= 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
Note que A é triangular superior, logo A^n também será triangular superior, com entradas diagonais
,1^n=1 e (-1)^n.

Passo 2

Vamos supor que, para todo n>=1,
A^n = 1 & an & bn 0 & (-1)^n & 0 0 & 0 & (-1)^n ,
onde an e bn são funções de n a determinar. Para n=1 temos
a1=-2, b1=8

Passo 3

Usando A^n=A^n-1,A, multiplicamos
1 & an-1 & bn-1 0 & (-1)^n-1 & 0 0 & 0 & (-1)^n-1 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ,
e obtemos as relações
an = -2 - an-1, bn = 8 - bn-1

Passo 4

Resolvendo as recursões:
  1. Para an, escreva cn = an + 1. Então
cn = -cn-1, c1 = a1+1 = -1 ;Longrightarrow; cn = (-1)^n,
logo
an = cn -1 = (-1)^n -1
  1. Para bn, escreva dn = bn -4. Então
dn = -dn-1, d1 = 4 ;Longrightarrow; dn = 4,(-1)^,n-1,
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bn = 4 + 4,(-1)^,n-1

Passo 5

Para n=2301 (ímpar) temos
(-1)^2301 = -1, a2301 = (-1)^2301-1 = -2, b2301 = 4 + 4cdot(-1)^2300 = 4 +4 = 8
Além disso (-1)^2301=-1 aparece nas entradas diagonais.

Resposta

A^2301 = 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ,
que é exatamente A, pois para n ímpar A^n=A.

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