Encontre a equação cartesiana e faça um esboço da curva polar:
C: \rho=4 \cos \theta;

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
\rho=4\cos\theta
e pede duas coisas: (1) encontrar a equação cartesiana correspondente e (2) fazer um esboço da curva polar. Informação disponível: a expressão de \rho em função de \theta. Informação pedida: equação em x,y e descrição/esboço da curva.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar as relações entre coordenadas polares e cartesianas (essas são fórmulas básicas que usamos sempre):
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,\qquad \rho^{2}=x^{2}+y^{2}.
Explicando cada símbolo: \rho é a distância do ponto à origem, \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo, x e y são as coordenadas cartesianas do mesmo ponto.

Passo 3

Para transformar \rho=4\cos\theta em uma equação em x e y é útil eliminar \rho e \theta usando as relações anteriores. Multiplico os dois lados por \rho (isso é legal porque estou apenas manipulando algebricamente):
\rho\cdot \rho = \rho\cdot 4\cos\theta
que dá
\rho^{2}=4\rho\cos\theta.

Passo 4

Agora substituo \rho^{2} por x^{2}+y^{2} (pela terceira relação) e \rho\cos\theta por x (pela primeira relação). Fazendo isso obtemos:
x^{2}+y^{2}=4x.
Pronto — essa já é uma equação em x,y.

Passo 5

Para identificar a curva, completo o quadrado em x. Reescrevo a equação como
x^{2}-4x+y^{2}=0.
Complete o quadrado em x: x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4. Substituindo:
(x-2)^{2}-4+y^{2}=0.
Isolando os termos quadráticos:
(x-2)^{2}+y^{2}=4.

Passo 6

A equação (x-2)^{2}+y^{2}=4 é a equação de um círculo. Interpretando:
  • centro em (2,0) (porque é (x-2) e y-0),
  • raio 2 (porque o lado direito é 4=2^{2}).
Observação prática: o círculo toca a origem (0,0) porque a distância do centro (2,0) até a origem é 2, igual ao raio.

Passo 7

Agora vamos ver como a parametrização polar traça esse círculo. Note que \rho=4\cos\theta é não negativa somente quando \cos\theta\ge 0, ou seja para
-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.
Para esses \theta temos \rho\ge 0 e os pontos obtidos cobrem exatamente o círculo (x-2)^{2}+y^{2}=4 (o círculo fica inteiramente à direita do eixo y, com 0\le x\le 4).

Passo 8

Sobre a orientação (como o ponto se move quando \theta aumenta): para \theta=-\tfrac{\pi}{2} temos \rho=0 (origem). Conforme \theta aumenta até 0, \rho cresce até 4 em \theta=0 (ponto (4,0)); seguindo \theta até \tfrac{\pi}{2}, \rho volta a 0 (origem). Portanto, ao aumentar \theta de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2} o círculo é traçado começando na origem, passando pela metade inferior até (4,0) e voltando pela metade superior à origem.

Passo 9

Comentário sobre \rho<0: para \theta fora do intervalo [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] temos \rho<0. Um \rho negativo em direção \theta representa o mesmo ponto que um \rho positivo na direção \theta+\pi. Assim, a curva não muda — é o mesmo círculo — apenas a parametrização usa ângulos diferentes. Em resumo: o conjunto de pontos de \rho=4\cos\theta é o círculo centrado em (2,0) de raio 2.

Passo 10

Como esboçar (passo a passo rápido para a prova):
  • desenhe os eixos x,y;
  • marque o centro em (2,0) e faça um círculo de raio 2;
  • marque pontos-chave: origem (0,0) (toque do círculo), (4,0) (ponto mais à direita), (2,2) e (2,-2) (pontos superior e inferior);
  • desenhe uma seta indicando a orientação: por exemplo, para \theta aumentando de -\tfrac{\pi}{2} para \tfrac{\pi}{2}, o traço vai da origem passando pela metade inferior até (4,0) e retornando pela metade superior à origem.

Resposta

(x-2)^{2}+y^{2}=4
Círculo de centro (2,0) e raio 2; traçado para -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2} (começa na origem, passa por (4,0) e volta à origem).

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