Encontre a equação cartesiana e faça um esboço da curva polar:
;
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede duas coisas: (1) encontrar a equação cartesiana correspondente e (2) fazer um esboço da curva polar. Informação disponível: a expressão de
em função de
. Informação pedida: equação em
e descrição/esboço da curva.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar as relações entre coordenadas polares e cartesianas (essas são fórmulas básicas que usamos sempre):
Explicando cada símbolo:
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo,
e
são as coordenadas cartesianas do mesmo ponto.
Passo 3
Para transformar
em uma equação em
e
é útil eliminar
e
usando as relações anteriores. Multiplico os dois lados por
(isso é legal porque estou apenas manipulando algebricamente):
que dá
Passo 4
Agora substituo
por
(pela terceira relação) e
por
(pela primeira relação). Fazendo isso obtemos:
Pronto — essa já é uma equação em
.
Passo 5
Para identificar a curva, completo o quadrado em
. Reescrevo a equação como
Complete o quadrado em
:
. Substituindo:
Isolando os termos quadráticos:
Passo 6
A equação
é a equação de um círculo. Interpretando:
- centro em
(porque é e ), - raio
(porque o lado direito é ).
Observação prática: o círculo toca a origem
porque a distância do centro
até a origem é
, igual ao raio.
Passo 7
Agora vamos ver como a parametrização polar traça esse círculo. Note que
é não negativa somente quando
, ou seja para
Para esses
temos
e os pontos obtidos cobrem exatamente o círculo
(o círculo fica inteiramente à direita do eixo
, com
).
Passo 8
Sobre a orientação (como o ponto se move quando
aumenta): para
temos
(origem). Conforme
aumenta até
,
cresce até
em
(ponto
); seguindo
até
,
volta a
(origem). Portanto, ao aumentar
de
a
o círculo é traçado começando na origem, passando pela metade inferior até
e voltando pela metade superior à origem.
Passo 9
Comentário sobre
: para
fora do intervalo
temos
. Um
negativo em direção
representa o mesmo ponto que um
positivo na direção
. Assim, a curva não muda — é o mesmo círculo — apenas a parametrização usa ângulos diferentes. Em resumo: o conjunto de pontos de
é o círculo centrado em
de raio
.
Passo 10
Como esboçar (passo a passo rápido para a prova):
- desenhe os eixos
; - marque o centro em
e faça um círculo de raio ; - marque pontos-chave: origem
(toque do círculo), (ponto mais à direita), e (pontos superior e inferior); - desenhe uma seta indicando a orientação: por exemplo, para
aumentando de para , o traço vai da origem passando pela metade inferior até e retornando pela metade superior à origem.
Resposta
Círculo de centro