Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x-1)^{2 n}}{n^{3}+3}
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x-1)^{2 n}}{n^{3}+3}
e pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência (ou seja, para quais valores de x a série converge).
Informações relevantes fornecidas:
A série está centrada em x=1 porque aparece (x-1).
Os expoentes de x-1 são 2n (aparecem apenas potências pares).
Os coeficientes são a_n=\dfrac{n}{n^{3}+3} multiplicando (x-1)^{2n}.
Passo 2
Observação útil (mudança de variável para simplificar): como só aparecem potências (x-1)^{2n}, é prático definir
y=(x-1)^{2}.
Com isso a série fica numa forma padrão de potência em y:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+3}\,y^{n}.
Agora temos uma série do tipo \sum_{n=0}^{\infty} c_n y^n com c_n=\dfrac{n}{n^3+3}. Encontrar o raio em y será direto e em seguida traduzimos para x.
Passo 3
Ferramenta para achar o raio: o teste da raiz (ou a fórmula do raio via limsup dos coeficientes). Para uma série \sum c_n y^n o raio R_y em torno de y=0 satisfaz
Explicando: \sqrt[n]{|c_n|} mede a “taxa de crescimento” dos coeficientes; se esse limite (ou limsup) for L, então a série converge para |y|<1/L e diverge para |y|>1/L. Vou calcular esse limsup para c_n=\dfrac{n}{n^3+3}.
Como a série \sum 1/n^{2} converge (p-série com p=2>1), então por comparação a série \sum \dfrac{n}{n^{3}+3} também converge. Logo a série converge em x=0. A convergência é absoluta pois os termos são positivos.
Passo 8
Teste no extremo x=2.
Para x=2 temos (x-1)^{2n}=1^{2n}=1 também. Portanto a série é novamente
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n^{3}+3},
igual ao caso anterior. Pelas mesmas razões do Passo 7, essa série converge. Assim a série converge em x=2.
Passo 9
Conclusão final combinando tudo: o raio em x é 1 e ambos os extremos x=0 e x=2 pertencem ao conjunto de convergência, então o intervalo de convergência é fechado [0,2]. (Convergência nos pontos finais é absoluta.)