Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x-1)^{2 n}}{n^{3}+3}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x-1)^{2 n}}{n^{3}+3}
e pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência (ou seja, para quais valores de x a série converge).
Informações relevantes fornecidas:
  1. A série está centrada em x=1 porque aparece (x-1).
  2. Os expoentes de x-1 são 2n (aparecem apenas potências pares).
  3. Os coeficientes são a_n=\dfrac{n}{n^{3}+3} multiplicando (x-1)^{2n}.

Passo 2

Observação útil (mudança de variável para simplificar): como só aparecem potências (x-1)^{2n}, é prático definir
y=(x-1)^{2}.
Com isso a série fica numa forma padrão de potência em y:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+3}\,y^{n}.
Agora temos uma série do tipo \sum_{n=0}^{\infty} c_n y^n com c_n=\dfrac{n}{n^3+3}. Encontrar o raio em y será direto e em seguida traduzimos para x.

Passo 3

Ferramenta para achar o raio: o teste da raiz (ou a fórmula do raio via limsup dos coeficientes). Para uma série \sum c_n y^n o raio R_y em torno de y=0 satisfaz
R_y = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}}.
Explicando: \sqrt[n]{|c_n|} mede a “taxa de crescimento” dos coeficientes; se esse limite (ou limsup) for L, então a série converge para |y|<1/L e diverge para |y|>1/L. Vou calcular esse limsup para c_n=\dfrac{n}{n^3+3}.

Passo 4

Calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n}{n^3+3}}.
Passo a passo:
  1. Escrevo o coeficiente de forma mais explícita:
\frac{n}{n^3+3}=\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{3}{n^3}}.
  1. Tome a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{\frac{n}{n^3+3}} = \sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}}}\cdot \sqrt[n]{\frac{1}{1+\dfrac{3}{n^3}}}.
  1. Analiso cada fator quando n\to\infty.
  • Primeiro fator: \sqrt[n]{\dfrac{1}{n^{2}}}=n^{-2/n}=\exp\!\big(-\tfrac{2\ln n}{n}\big). Como \dfrac{\ln n}{n}\to 0, esse fator tende a \exp(0)=1.
  • Segundo fator: \sqrt[n]{\dfrac{1}{1+3/n^3}}\to 1 porque o termo interior tende a 1 e a raiz n-ésima de algo que tende a 1 também tende a 1.
Conclusão:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n}{n^3+3}}=1.
Então \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=1, e portanto
R_y=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Volto para a variável x. Lembre que y=(x-1)^2. A região de convergência em y é |y|<1, isto é
|(x-1)^2|<1.
Como (x-1)^2\ge 0 sempre, isso é equivalente a
(x-1)^2<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-1|<1.
Portanto o raio em x é
R_x = 1.
O intervalo aberto correspondente (centro 1, raio 1) é (0,2).

Passo 6

Agora falta testar os extremos do intervalo |x-1|=1, ou seja x=0 e x=2. Precisamos verificar se a série converge nesses pontos.

Passo 7

Teste no extremo x=0.
  • Para x=0 temos (x-1)^{2n}=(-1)^{2n}=1. Então a série torna-se
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n^{3}+3}.
  • Para estudar a convergência usamos comparação assintótica com uma p-série. Observe que, para grandes n,
\frac{n}{n^{3}+3}\sim\frac{n}{n^{3}}=\frac{1}{n^{2}}.
Formalizamos com o teste da comparação limite: calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{n^{3}+3}}{\dfrac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{n^3+3}=1.
Como a série \sum 1/n^{2} converge (p-série com p=2>1), então por comparação a série \sum \dfrac{n}{n^{3}+3} também converge. Logo a série converge em x=0. A convergência é absoluta pois os termos são positivos.

Passo 8

Teste no extremo x=2.
  • Para x=2 temos (x-1)^{2n}=1^{2n}=1 também. Portanto a série é novamente
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n^{3}+3},
igual ao caso anterior. Pelas mesmas razões do Passo 7, essa série converge. Assim a série converge em x=2.

Passo 9

Conclusão final combinando tudo: o raio em x é 1 e ambos os extremos x=0 e x=2 pertencem ao conjunto de convergência, então o intervalo de convergência é fechado [0,2]. (Convergência nos pontos finais é absoluta.)

Resposta

Raio: R=1
Intervalo de convergência: [0,2]

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