Encontre a equação cartesiana e faça um esboço da curva polar:
C: \rho \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=1;

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
C: \rho \cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=1.
Perguntas que precisamos responder:
  1. Qual é a equação cartesiana correspondente a essa curva?
  2. Fazer um esboço (desenho/descrição) da curva no plano cartesiano.
Informações relevantes do enunciado:
  • A curva está dada em coordenadas polares por uma relação entre \rho e \theta.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado (por exemplo, domínio de \theta), então devemos interpretar a curva como o conjunto de pontos (\rho,\theta) que satisfazem a equação e traduzir para coordenadas cartesianas (x,y).

Passo 2

Relembrando as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas (importantíssimo para converter):
  • Se um ponto no plano tem coordenadas polares (\rho,\theta) e coordenadas cartesianas (x,y), então
x = \rho\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\theta.
Aqui \rho é a distância do ponto à origem (normalmente \rho\ge 0) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
Também vamos usar a identidade trigonométrica para cosseno de diferença:
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b,
que vale para quaisquer ângulos a e b.

Passo 3

Aplicando a identidade trigonométrica à expressão \cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right):
\cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\theta\cos\frac{\pi}{4}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{4}.
Sabemos que
\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto
\cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\theta+\sin\theta).

Passo 4

Substituímos essa expressão na equação da curva:
\rho\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\theta+\sin\theta)=1.
Ou seja,
\frac{\rho\cos\theta+\rho\sin\theta}{\sqrt{2}}=1.

Passo 5

Agora usamos as relações polares-cartesianas \rho\cos\theta=x e \rho\sin\theta=y. Substituindo:
\frac{x+y}{\sqrt{2}}=1.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{2} obtemos a equação cartesiana simples:
x+y=\sqrt{2}.

Passo 6

Interpretação geométrica da equação obtida:
  • \;x+y=\sqrt{2} é a equação de uma reta no plano com coeficientes 1 e 1.
  • Colocando em forma de inclinação:
y=-x+\sqrt{2},
ou seja, a reta tem inclinação -1 (declive -1) e intercepto no eixo y igual a \sqrt{2}.
  • Os pontos onde a reta corta os eixos são:
    • Interseção com o eixo x: tomar y=0 => x=\sqrt{2}. Ponto \big(\sqrt{2},0\big).
    • Interseção com o eixo y: tomar x=0 => y=\sqrt{2}. Ponto \big(0,\sqrt{2}\big).
  • A distância da reta à origem (usando fórmula da distância ponto-reta) para a reta x+y-\sqrt{2}=0 é
\frac{|0+0-\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1.
Isto confirma uma interpretação geométrica direta da equação polar: \rho\cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) é a projeção do vetor posição sobre a direção do ângulo \frac{\pi}{4}, e exigir que essa projeção valha 1 descreve a reta perpendicular a essa direção a distância 1 da origem.

Passo 7

Discussão sobre o parâmetro polar e o traçado da reta:
  • Podemos isolar \rho da equação polar original (quando \cos(\theta-\pi/4)\neq 0):
\rho=\frac{1}{\cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)}.
  • Se adotarmos a convenção \rho\ge 0, então para \cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)>0 (isto é, para \theta em \left(-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right) modulo 2\pi) obtemos \rho>0 e a reta é percorrida diretamente por esse parâmetro. Quando \cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)<0 a fórmula dá \rho<0; como pontos com \rho<0 podem ser reescritos mudando \theta por \theta+\pi (convencionalmente), a reta inteira continua sendo a mesma reta cartesiana x+y=\sqrt{2}. Portanto, não há “partes faltando”: a curva cartesiana é toda a reta x+y=\sqrt{2}.
  • Pontos a evitar no parâmetro: ângulos tais que \cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=0, isto é \theta=\frac{\pi}{4}\pm\frac{\pi}{2} (ex.: \theta=-\frac{\pi}{4} e \theta=\frac{3\pi}{4}), nesses \rho diverge (reta vertical em coordenadas polares) — isso corresponde ao fato de que a fórmula \rho=1/\cos(\cdot) tem assíntotas nesses ângulos, mas geometricamente não há mistério: a reta é inteira em cartasianas.

Passo 8

Como esboçar no papel — procedimento prático (para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque os pontos \big(\sqrt{2},0\big) e \big(0,\sqrt{2}\big). (Se precisar de números: \sqrt{2}\approx 1{,}414.)
  3. Trace a reta que passa por esses dois pontos; essa é a reta x+y=\sqrt{2}.
  4. Opcionalmente marque que a reta está a distância 1 da origem na direção do vetor normal (1,1) (ou seja, perpendicular à direção de ângulo \pi/4) — isso ajuda a verificar se o esboço está posicionado corretamente.

Resposta

Equação cartesiana: x+y=\sqrt{2}.
Esboço: reta com inclinação -1 que intercepta os eixos em \big(\sqrt{2},0\big) e \big(0,\sqrt{2}\big); a reta está à distância 1 da origem e é perpendicular à direção \theta=\frac{\pi}{4}.

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