Encontre a equação cartesiana e faça um esboço da curva polar:
;
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
Perguntas que precisamos responder:
- Qual é a equação cartesiana correspondente a essa curva?
- Fazer um esboço (desenho/descrição) da curva no plano cartesiano.
Informações relevantes do enunciado:
- A curva está dada em coordenadas polares por uma relação entre
e . - Não há outras restrições explícitas no enunciado (por exemplo, domínio de
), então devemos interpretar a curva como o conjunto de pontos que satisfazem a equação e traduzir para coordenadas cartesianas .
Passo 2
Relembrando as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas (importantíssimo para converter):
- Se um ponto no plano tem coordenadas polares
e coordenadas cartesianas , então
Aqui
é a distância do ponto à origem (normalmente
) e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo.
Também vamos usar a identidade trigonométrica para cosseno de diferença:
Também vamos usar a identidade trigonométrica para cosseno de diferença:
que vale para quaisquer ângulos
e
.
Passo 3
Aplicando a identidade trigonométrica à expressão
:
Sabemos que
Portanto
Passo 4
Substituímos essa expressão na equação da curva:
Ou seja,
Passo 5
Agora usamos as relações polares-cartesianas
e
. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a equação cartesiana simples:
Passo 6
Interpretação geométrica da equação obtida:
-
é a equação de uma reta no plano com coeficientes e . - Colocando em forma de inclinação:
ou seja, a reta tem inclinação
(declive
) e intercepto no eixo
igual a
.
- Os pontos onde a reta corta os eixos são:
- Interseção com o eixo
: tomar => . Ponto . - Interseção com o eixo
: tomar => . Ponto .
- Interseção com o eixo
- A distância da reta à origem (usando fórmula da distância ponto-reta) para a reta
é
Isto confirma uma interpretação geométrica direta da equação polar:
é a projeção do vetor posição sobre a direção do ângulo
, e exigir que essa projeção valha
descreve a reta perpendicular a essa direção a distância
da origem.
Passo 7
Discussão sobre o parâmetro polar e o traçado da reta:
- Podemos isolar
da equação polar original (quando ):
- Se adotarmos a convenção
, então para (isto é, para em modulo ) obtemos e a reta é percorrida diretamente por esse parâmetro. Quando a fórmula dá ; como pontos com podem ser reescritos mudando por (convencionalmente), a reta inteira continua sendo a mesma reta cartesiana . Portanto, não há “partes faltando”: a curva cartesiana é toda a reta . - Pontos a evitar no parâmetro: ângulos tais que
, isto é (ex.: e ), nesses diverge (reta vertical em coordenadas polares) — isso corresponde ao fato de que a fórmula tem assíntotas nesses ângulos, mas geometricamente não há mistério: a reta é inteira em cartasianas.
Passo 8
Como esboçar no papel — procedimento prático (para a prova):
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos
e . (Se precisar de números: .) - Trace a reta que passa por esses dois pontos; essa é a reta
. - Opcionalmente marque que a reta está a distância
da origem na direção do vetor normal (ou seja, perpendicular à direção de ângulo ) — isso ajuda a verificar se o esboço está posicionado corretamente.
Resposta
Equação cartesiana:
.
Esboço: reta com inclinação que intercepta os eixos em
e
; a reta está à distância
da origem e é perpendicular à direção
.
Esboço: reta com inclinação