Encontre uma equação cartesiana o paramétrica para a olipse com centro (-1,4), vértice (-1,0) e foco (-1,6). Determine os outros vértices, o outro foco e faça um esboço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a equação cartesiana ou paramétrica de uma elipse que tem o centro em (-1,4), um vértice em (-1,0) e um foco em (-1,6). Além disso, precisamos descobrir os outros vértices e o outro foco, e fazer um esboço da elipse. Para isso, vamos usar os conceitos básicos de elipses, como os parâmetros a (semi-eixo maior), b (semi-eixo menor) e c (distância do centro aos focos).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a elipse está vertical ou horizontal. Observando os pontos dados:
  • Centro: (-1,4)
  • Vértice: (-1,0)
  • Foco: (-1,6)
Como todos esses pontos têm a mesma coordenada x ( -1), a elipse é vertical, ou seja, seu eixo maior está na vertical.

Passo 3

Vamos encontrar a distância do centro até o vértice, que é o valor de a. A fórmula para essa distância no eixo vertical é:
a = |yvértice - ycentro| é
Substituindo os valores:
a = |0 - 4| = 4
Então, a = 4.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a distância do centro até o foco, que é o valor de c. A fórmula para essa distância no eixo vertical é:
c = |yfoco - ycentro|
Substituindo os valores:
c = |6 - 4| = 2
Então, c = 2.

Passo 5

Sabemos que em uma elipse, a relação entre a, b e c é:
c^2 = a^2 - b^2
Vamos usar isso para encontrar b:
2^2 = 4^2 - b^2 4 = 16 - b^2 b^2 = 16 - 4 b^2 = 12 b = raiz12 = 2raiz3
Então, b = 2raiz3.

Passo 6

Com os valores de a e b, podemos escrever a equação cartesianoda elipse. Para uma elipse vertical com centro em (h, k), a equação é:
(x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1
Substituindo h = -1, k = 4, a = 4 e b^2 = 12:
(x + 1)^212 + (y - 4)^216 = 1

Passo 7

Agora, vamos encontrar os outros vértices e o outro foco. Sabendo que a elipse é vertical:
  • Vértices: Estão a uma distância a acima e abaixo do centro.
    • Já temos um vértice em (-1,0). O outro vértice será a mesma distância acima:
    ( -1, 4 + 4 ) = (-1, 8)
  • Focos: Estão a uma distância c acima e abaixo do centro.
    • Já temos um foco em (-1,6). O outro foco será a mesma distância abaixo:
    ( -1, 4 - 2 ) = (-1, 2)

Resposta

A equação cartesiana da elipse é:
(x + 1)^212 + (y - 4)^216 = 1
Os outros vértices são (-1,8) e os outros focos são (-1,2). O esboço da elipse terá o centro em (-1,4), vértices em (-1,0) e (-1,8), e focos em (-1,6) e (-1,2).

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