Encontre uma equação cartesiana o paramétrica para a olipse com centro
, vértice
e foco
. Determine os outros vértices, o outro foco e faça um esboço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a equação cartesiana ou paramétrica de uma elipse que tem o centro em
, um vértice em
e um foco em
. Além disso, precisamos descobrir os outros vértices e o outro foco, e fazer um esboço da elipse. Para isso, vamos usar os conceitos básicos de elipses, como os parâmetros
(semi-eixo maior),
(semi-eixo menor) e
(distância do centro aos focos).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a elipse está vertical ou horizontal. Observando os pontos dados:
- Centro:
- Vértice:
- Foco:
Como todos esses pontos têm a mesma coordenada
(
), a elipse é vertical, ou seja, seu eixo maior está na vertical.
Passo 3
Vamos encontrar a distância do centro até o vértice, que é o valor de
. A fórmula para essa distância no eixo vertical é:
Substituindo os valores:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a distância do centro até o foco, que é o valor de
. A fórmula para essa distância no eixo vertical é:
Substituindo os valores:
Então,
.
Passo 5
Sabemos que em uma elipse, a relação entre
,
e
é:
Vamos usar isso para encontrar
:
Então,
.
Passo 6
Com os valores de
e
, podemos escrever a equação cartesianoda elipse. Para uma elipse vertical com centro em
, a equação é:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os outros vértices e o outro foco. Sabendo que a elipse é vertical:
-
Vértices: Estão a uma distância
acima e abaixo do centro. - Já temos um vértice em
. O outro vértice será a mesma distância acima:
- Já temos um vértice em
-
Focos: Estão a uma distância
acima e abaixo do centro. - Já temos um foco em
. O outro foco será a mesma distância abaixo:
- Já temos um foco em
Resposta
A equação cartesiana da elipse é:
Os outros vértices são
e os outros focos são
. O esboço da elipse terá o centro em
, vértices em
e
, e focos em
e
.