Resolva a E.D.O: (Lembre-se: a solução é dada por
, onde
é solução da E.D.O homogênea e
é solução particular da E.D.O não-homogênea).
Passo 1
A equação diferencial dada é
. Esse é um problema de E.D.O. linear de segunda ordem com coeficientes constantes, em que a solução geral é da forma
, onde
resolve a homogênea e
é uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Para encontrar
, resolvemos a equação característica associada à parte homogênea
:
Isso é
, ou seja, raiz dupla
. Logo,
Passo 3
Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 3, fazemos o ansatz polinomial de grau 3 sem ressonância (pois 0 não é raiz da característica):
Passo 4
Calculamos as derivadas e substituímos em
:
Substituindo:
Agrupando potências de
:
Passo 5
Igualando aos coeficientes de
, obtemos o sistema:
Resolvendo dá
Logo:
Passo 6
A solução geral da E.D.O. é a soma de
e
: