Resolva a E.D.O: (Lembre-se: a solução é dada por y=yh+yp, onde yh é solução da E.D.O homogênea e yp é solução particular da E.D.O não-homogênea).
y^prime prime-2 y^prime+y=x^3+4 x

Passo 1

A equação diferencial dada é y'' - 2y' + y = x^3 + 4x. Esse é um problema de E.D.O. linear de segunda ordem com coeficientes constantes, em que a solução geral é da forma y = yh + yp, onde yh resolve a homogênea e yp é uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Para encontrar yh, resolvemos a equação característica associada à parte homogênea y'' - 2y' + y = 0:
r^2 - 2r + 1 = 0
Isso é (r-1)^2 = 0, ou seja, raiz dupla r=1. Logo,
yh = C1 e^x + C2 x e^x

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 3, fazemos o ansatz polinomial de grau 3 sem ressonância (pois 0 não é raiz da característica):
yp = A x^3 + B x^2 + C x + D

Passo 4

Calculamos as derivadas e substituímos em y'' - 2y' + y:
yp' = 3A x^2 + 2B x + C,
yp'' = 6A x + 2B
Substituindo:
(6A x + 2B) - 2(3A x^2 + 2B x + C) + (A x^3 + B x^2 + C x + D)
Agrupando potências de x:
x^3: A,
x^2: -6A + B,
x: 6A - 4B + C,
constante: 2B - 2C + D

Passo 5

Igualando aos coeficientes de x^3 + 0x^2 + 4x + 0, obtemos o sistema:
A = 1, -6A + B = 0, 6A - 4B + C = 4, 2B - 2C + D = 0
Resolvendo dá
A=1,
B=6,
C=22,
D=32
Logo:
yp = x^3 + 6x^2 + 22x + 32

Passo 6

A solução geral da E.D.O. é a soma de yh e yp:
y = C1 e^x + C2 x e^x + x^3 + 6x^2 + 22x + 32

Resposta

y = C1 e^x + C2 x e^x + x^3 + 6x^2 + 22x + 32

Exercícios relacionados