Resolva a E.D.O: (Lembre-se: a solução é dada por
, onde
é solução da E.D.O homogênea e
é solução particular da E.D.O não-homogênea).
Passo 1
Resumindo o enunciado: a gente quer resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo da matéria é equações lineares, e vamos precisar de dois ingredientes: a solução geral da parte homogênea (via equação característica) e uma solução particular da parte não homogênea (usando coeficientes indeterminados).
Passo 2
Para achar a parte homogênea
, montamos a equação característica associada:
Calculando o discriminante
, as raízes são
Como são complexas
e
, a solução geral homogênea é
Passo 3
Agora, para a parte particular
, usamos coeficientes indeterminados. Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 1, tentamos
Então
Substituindo em
:
Isso deve ser igual a
, logo igualamos coeficientes:
Para :
.
Constante: implica
.
Portanto
Para
Constante:
Portanto
Passo 4
Juntando as duas partes, a solução geral da EDO é a soma
Resposta
y(x) = e^{-\tfrac{x}{2}}\bigl(C_1 \cos(\tfrac{\sqrt3}{2}x) + C_2 \sin(\tfrac{\sqrt3}{2}x)\bigr) + x - 1