Resolva a E.D.O: (Lembre-se: a solução é dada por y=yh+yp, onde yh é solução da E.D.O homogênea e yp é solução particular da E.D.O não-homogênea).
y^prime prime+y^prime+y=x

Passo 1

Resumindo o enunciado: a gente quer resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+y'+y = x
O conteúdo da matéria é equações lineares, e vamos precisar de dois ingredientes: a solução geral da parte homogênea (via equação característica) e uma solução particular da parte não homogênea (usando coeficientes indeterminados).

Passo 2

Para achar a parte homogênea yh, montamos a equação característica associada:
r^2 + r + 1 = 0
Calculando o discriminante De, as raízes são
r = -1 pm iraiz32
Como são complexas alpha = -tfrac12 e beta = tfracraiz32, a solução geral homogênea é
yh(x) = e^-x/2l(C1 cos(tfracraiz32x) + C2 sin(tfracraiz32x)r)

Passo 3

Agora, para a parte particular yp, usamos coeficientes indeterminados. Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 1, tentamos
yp(x) = A x + B
Então
yp'(x) = A, yp''(x) = 0
Substituindo em y''+y'+y:
0 + A + (A x + B) = A x + (A+B)
Isso deve ser igual a x, logo igualamos coeficientes:
Para x: A = 1.
Constante: A + B = 0 implica B = -1.
Portanto
yp(x) = x - 1

Passo 4

Juntando as duas partes, a solução geral da EDO é a soma
y(x) = yh(x) + yp(x) = e^-x/2l(C1 cos(tfracraiz32x) + C2 sin(tfracraiz32x)r) + x - 1

Resposta

y(x) = e^{-\tfrac{x}{2}}\bigl(C_1 \cos(\tfrac{\sqrt3}{2}x) + C_2 \sin(\tfrac{\sqrt3}{2}x)\bigr) + x - 1

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