O integrando é uma função racional cujo denominador é o polinômio \;x^{2}-3x-4.\n
Sempre que o denominador for um polinômio do 2º grau que se fatoriza em dois fatores lineares distintos, uma boa estratégia é decompor em frações parciais. \n
Note que as raízes do denominador (os pontos onde a função não está definida) serão importantes: elas são os valores de x que anulam x^{2}-3x-4. Não vamos ainda calcular nada — apenas listei o que o problema fornece e o que é útil para resolver.
Passo 2
Vamos fatorar o denominador \;x^{2}-3x-4.\n
Procuramos dois números que multiplicados deem -4 (termo independente) e somados deem -3 (coeficiente de x). Esses números são -4 e 1. Portanto:
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).
Isso nos diz que podemos escrever a integral como
\int \frac{dx}{(x-4)(x+1)}.
Passo 3
Explicando a ideia de frações parciais (didático): \n
Quando temos uma fração com denominador que é produto de fatores lineares distintos, podemos escrever a fração como soma de frações simples cuja integral é direta. Ou seja, buscamos constantes A e B tais que
\frac{1}{(x-4)(x+1)}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+1}.
Essa igualdade deve valer para todo x (exceto nos pontos singulares), então podemos encontrar A e B resolvendo uma identidade algébrica.
Passo 4
Encontrar A e B: \n
Multiplicando ambos os lados pela denominação (x-4)(x+1) obtemos a identidade
1 = A(x+1)+B(x-4).
Uma maneira prática é escolher valores de x que anulem termos:\n
Para x=4: \;1 = A(4+1)+B\cdot 0\Rightarrow 1=5A \Rightarrow A=\tfrac{1}{5}.\n
Para x=-1: \;1 = A\cdot 0 + B(-1-4)\Rightarrow 1 = -5B \Rightarrow B=-\tfrac{1}{5}.\n
(Alternativa: poderíamos expandir e igualar coeficientes, daria o mesmo resultado.)\n
Logo
Agora integramos termo a termo. Primeiro, a regra básica que usamos: para qualquer constante a,
\int \frac{dx}{x-a}=\ln|x-a|+C,
porque \frac{d}{dx}\ln|x-a|=\frac{1}{x-a}. (Repare no valor absoluto: é necessário porque o logaritmo natural só aceita argumento positivo, e a primitiva é válida em ambos os lados da singularidade.)\n
Aplicando isso aos nossos termos: