Calcule a integral.
\int \frac{d x}{x^{2}-3 x-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{x^{2}-3x-4}.
Informações relevantes que temos: \n
  • O integrando é uma função racional cujo denominador é o polinômio \;x^{2}-3x-4.\n
  • Sempre que o denominador for um polinômio do 2º grau que se fatoriza em dois fatores lineares distintos, uma boa estratégia é decompor em frações parciais. \n
  • Note que as raízes do denominador (os pontos onde a função não está definida) serão importantes: elas são os valores de x que anulam x^{2}-3x-4. Não vamos ainda calcular nada — apenas listei o que o problema fornece e o que é útil para resolver.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador \;x^{2}-3x-4.\n
Procuramos dois números que multiplicados deem -4 (termo independente) e somados deem -3 (coeficiente de x). Esses números são -4 e 1. Portanto:
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).
Isso nos diz que podemos escrever a integral como
\int \frac{dx}{(x-4)(x+1)}.

Passo 3

Explicando a ideia de frações parciais (didático): \n
Quando temos uma fração com denominador que é produto de fatores lineares distintos, podemos escrever a fração como soma de frações simples cuja integral é direta. Ou seja, buscamos constantes A e B tais que
\frac{1}{(x-4)(x+1)}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+1}.
Essa igualdade deve valer para todo x (exceto nos pontos singulares), então podemos encontrar A e B resolvendo uma identidade algébrica.

Passo 4

Encontrar A e B: \n
Multiplicando ambos os lados pela denominação (x-4)(x+1) obtemos a identidade
1 = A(x+1)+B(x-4).
Uma maneira prática é escolher valores de x que anulem termos:\n
  • Para x=4: \;1 = A(4+1)+B\cdot 0\Rightarrow 1=5A \Rightarrow A=\tfrac{1}{5}.\n
  • Para x=-1: \;1 = A\cdot 0 + B(-1-4)\Rightarrow 1 = -5B \Rightarrow B=-\tfrac{1}{5}.\n
    (Alternativa: poderíamos expandir e igualar coeficientes, daria o mesmo resultado.)\n
    Logo
\frac{1}{(x-4)(x+1)}=\frac{1/5}{x-4}-\frac{1/5}{x+1}.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Primeiro, a regra básica que usamos: para qualquer constante a,
\int \frac{dx}{x-a}=\ln|x-a|+C,
porque \frac{d}{dx}\ln|x-a|=\frac{1}{x-a}. (Repare no valor absoluto: é necessário porque o logaritmo natural só aceita argumento positivo, e a primitiva é válida em ambos os lados da singularidade.)\n
Aplicando isso aos nossos termos:
\int \frac{dx}{(x-4)(x+1)} = \int\left(\frac{1/5}{x-4}-\frac{1/5}{x+1}\right)dx.
Integrando:
= \frac{1}{5}\ln|x-4| - \frac{1}{5}\ln|x+1| + C.
Podemos juntar os logaritmos:
= \frac{1}{5}\ln\left|\frac{x-4}{x+1}\right| + C.
Verificação rápida (opcional, mas educativa): derivando \frac{1}{5}\ln|x-4| - \frac{1}{5}\ln|x+1| usamos a regra da derivada do ln e obtemos
\frac{1}{5}\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{1}{(x-4)(x+1)},
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}\ln\left|\frac{x-4}{x+1}\right|+C

Exercícios relacionados