Encontre uma equação em coordenadas polares equivalente a cada uma das equações dadas em coordenadas cartesianas.
x^{2}+y^{2}=9

Passo 1

O enunciado dá a equação em coordenadas cartesianas e pede uma equação equivalente em coordenadas polares.
  • Equação dada: x^{2}+y^{2}=9.
  • Objetivo: escrever essa mesma relação usando as variáveis polares (normalmente r e \theta).

Passo 2

Lembrando as definições de coordenadas polares (essas são as substituições que vamos usar):
  • x = r\cos\theta,
  • y = r\sin\theta.
Aqui r é a distância do ponto à origem (sempre r\ge 0 se adotarmos a convenção usual) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.

Passo 3

Substituímos x e y na equação dada usando as definições polares:
x^{2}+y^{2} = (r\cos\theta)^{2} + (r\sin\theta)^{2}.

Passo 4

Fatorando r^{2} e usando a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, obtemos
(r\cos\theta)^{2} + (r\sin\theta)^{2} = r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) = r^{2}.

Passo 5

Portanto a equação x^{2}+y^{2}=9 fica em polares
r^{2}=9.
Resolvendo para r e lembrando da convenção r\ge 0, concluímos que
r=3.

Passo 6

Interpretação e dica de prova: a equação r=3 representa a circunferência centrada na origem com raio 3. Em geral, quando a equação cartesiana é x^{2}+y^{2}=R^{2} a resposta em polares será r=R.

Resposta

r=3

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