Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
r=\sin 2 \theta

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar a curva em coordenadas polares dada por
r=\sin 2\theta.
Informações fornecidas e pontos importantes a observar:
  • A equação relaciona o raio r ao ângulo \theta por meio da função seno de 2\theta.
  • Não há outros dados numéricos; o objetivo é entender a forma da curva e traçá‑la qualitativamente (e, se quiser, quantificadamente em pontos-chave).

Passo 2

Rápido lembrete de coordenadas polares (aulas práticas, nada chato):
  • Um ponto em coordenadas polares é dado por (r,\theta), que corresponde em cartesiano a
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
  • Se em algum ângulo \theta obtivermos r<0, isso significa que o ponto fica no sentido oposto: o mesmo que (|r|,\theta+\pi). Ou seja, r negativo vira um raio positivo apontando \pi radian0 adiante.
  • Identificar zeros, máximos, sinais e simetrias da função r(\theta) é a maneira mais direta de esboçar.

Passo 3

Encontrar os zeros de r (onde a curva passa pela origem):
r=\sin 2\theta=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\theta=k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{k\pi}{2},\\ k\in\mathbb{Z}.
Logo os zeros ocorrem em \theta=0,\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \tfrac{3\pi}{2},\dots. Esses ângulos correspondem às direções em que a curva volta ao ponto r=0 (origem).

Passo 4

Onde r atinge máximos e mínimos (valores absolutos mais altos):
  • Máximos de \sin 2\theta ocorrem quando \sin 2\theta=1, isto é
2\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{4}+k\pi.
Nesses \theta temos r=1.
  • Mínimos ocorrem quando \sin 2\theta=-1, isto é
2\theta=\frac{3\pi}{2}+2k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{3\pi}{4}+k\pi.
Nesses \theta temos r=-1, que, pelo significado de r negativo, corresponde a um ponto com raio 1 dirigido para \theta+\pi.

Passo 5

Interpretação geométrica desses extremos (onde ficam as “pétalas”):
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{4} temos r=1. Então existe um ponto a distância 1 na direção \theta=\tfrac{\pi}{4} (45°) — isto é o “topo” de uma pétala centrada nessa direção.
  • Para \theta=\tfrac{5\pi}{4} também r=1; isso dá a pétala diametralmente oposta (225°).
  • Para \theta=\tfrac{3\pi}{4} temos r=-1. Como r é negativo, o ponto efetivo fica em direção \theta+\pi=\tfrac{3\pi}{4}+\pi=\tfrac{7\pi}{4} (315°) com raio 1. Assim aparece outra pétala em \theta=\tfrac{7\pi}{4}.
  • Para \theta=\tfrac{7\pi}{4} temos r=-1 que aponta para \theta+\pi=\tfrac{3\pi}{4} (135°), dando a quarta pétala em \theta=\tfrac{3\pi}{4}.
    Conclusão: há pétalas ao longo das direções
\theta=\frac{\pi}{4},\\ \frac{3\pi}{4},\\ \frac{5\pi}{4},\\ \frac{7\pi}{4},
todas com comprimento máximo 1.

Passo 6

Sinal de r e intervalos onde cada pétala é desenhada:
  • \sin 2\theta>0 para \theta\in\big(0,\tfrac{\pi}{2}\big) e \theta\in\big(\pi,\tfrac{3\pi}{2}\big): nesses intervalos r>0 e os pontos estão na direção \theta real.
  • \sin 2\theta<0 para \theta\in\big(\tfrac{\pi}{2},\pi\big) e \theta\in\big(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\big): nesses intervalos r<0 e os pontos aparecem no sentido oposto (ou seja, contribuem para as pétalas centrais nas direções que identificamos no passo anterior).
  • Entre cada par de zeros consecutivos (como entre 0 e \tfrac{\pi}{2}) a função r(\theta) aumenta de 0 até 1 e volta a 0, formando uma pétala contínua.

Passo 7

Exemplos numéricos para ver como plotar ponto a ponto (útil para esboçar à mão):
Calcule r em alguns ângulos entre 0 e \tfrac{\pi}{2}:
\begin{aligned} \theta=0 &\Rightarrow r=\sin 0=0,\\\ \theta=\tfrac{\pi}{8} &\Rightarrow r=\sin\big(2\cdot\tfrac{\pi}{8}\big)=\sin\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707,\\\ \theta=\tfrac{\pi}{4} &\Rightarrow r=\sin\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1,\\\ \theta=\tfrac{3\pi}{8} &\Rightarrow r=\sin\big(\tfrac{3\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2},\\\ \theta=\tfrac{\pi}{2} &\Rightarrow r=\sin\pi=0. \end{aligned}
Esses valores descrevem uma pétala que nasce na origem, cresce até raio 1 em \theta=\tfrac{\pi}{4} e volta à origem em \theta=\tfrac{\pi}{2}. Repetindo de modo análogo nos outros intervalos, obtém‑se as demais pétalas.

Passo 8

Forma final e simetrias — descrição para o esboço:
  • A curva é a chamada “rosa” (rose curve) com \,4 pétalas. Em geral r=a\sin(n\theta) n pétalas se n é ímpar e 2n pétalas se n é par; aqui n=2 (par), resultando em 2\cdot 2=4 pétalas.
  • Cada pétala tem comprimento máximo r_{\max}=1.
  • As pétalas estão centradas nas direções \theta=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}.
  • Zeros (cruzamentos na origem) ocorrem em \theta=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2}, que são as “pontas” entre as pétalas.
  • A curva é simétrica por rotações de \tfrac{\pi}{2} e por reflexões apropriadas (por exemplo, troca x\leftrightarrow y etc.).

Passo 9

Como esboçar na prática (passo a passo para a prova):
  1. Marque a origem e os eixos.
  2. Marque as direções \theta=0,\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\dots.
  3. Em cada intervalo entre zeros (por exemplo 0 a \tfrac{\pi}{2}), desenhe um arco que parte da origem, cresce até raio 1 em \theta=\tfrac{\pi}{4} e volta à origem em \tfrac{\pi}{2}.
  4. Repita para os outros 3 intervalos, lembrando que onde r fica negativo você deve desenhar o ponto no sentido oposto (isto é automaticamente tratado se usar os valores de r com a regra r<0 → ângulo \theta+\pi).
  5. O resultado são quatro pétalas simétricas com ponta externa a distância 1 do centro.

Passo 10

Resumo final prático (o que você deve escrever/mostrar na prova):
  • Indicar zeros e máximos com seus ângulos.
  • Dizer que a curva é uma rosa de \,4 pétalas com comprimento máximo 1 e listar as direções centrais das pétalas.

Resposta

A curva é uma rosa com 4 pétalas, cada pétala de comprimento máximo 1, centradas nas direções \theta=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}.

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