Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar a curva em coordenadas polares dada por
Informações fornecidas e pontos importantes a observar:
- A equação relaciona o raio
ao ângulo por meio da função seno de . - Não há outros dados numéricos; o objetivo é entender a forma da curva e traçá‑la qualitativamente (e, se quiser, quantificadamente em pontos-chave).
Passo 2
Rápido lembrete de coordenadas polares (aulas práticas, nada chato):
- Um ponto em coordenadas polares é dado por
, que corresponde em cartesiano a
- Se em algum ângulo
obtivermos , isso significa que o ponto fica no sentido oposto: o mesmo que . Ou seja, negativo vira um raio positivo apontando radian0 adiante. - Identificar zeros, máximos, sinais e simetrias da função
é a maneira mais direta de esboçar.
Passo 3
Encontrar os zeros de
(onde a curva passa pela origem):
Logo os zeros ocorrem em
. Esses ângulos correspondem às direções em que a curva volta ao ponto
(origem).
Passo 4
Onde
atinge máximos e mínimos (valores absolutos mais altos):
- Máximos de
ocorrem quando , isto é
Nesses
temos
.
- Mínimos ocorrem quando
, isto é
Nesses
temos
, que, pelo significado de
negativo, corresponde a um ponto com raio
dirigido para
.
Passo 5
Interpretação geométrica desses extremos (onde ficam as “pétalas”):
- Para
temos . Então existe um ponto a distância na direção (45°) — isto é o “topo” de uma pétala centrada nessa direção. - Para
também ; isso dá a pétala diametralmente oposta (225°). - Para
temos . Como é negativo, o ponto efetivo fica em direção (315°) com raio . Assim aparece outra pétala em . - Para
temos que aponta para (135°), dando a quarta pétala em .
Conclusão: há pétalas ao longo das direções
todas com comprimento máximo
.
Passo 6
Sinal de
e intervalos onde cada pétala é desenhada:
-
para e : nesses intervalos e os pontos estão na direção real. -
para e : nesses intervalos e os pontos aparecem no sentido oposto (ou seja, contribuem para as pétalas centrais nas direções que identificamos no passo anterior). - Entre cada par de zeros consecutivos (como entre
e ) a função aumenta de até e volta a , formando uma pétala contínua.
Passo 7
Exemplos numéricos para ver como plotar ponto a ponto (útil para esboçar à mão):
Calcule em alguns ângulos entre
e
:
Calcule
Esses valores descrevem uma pétala que nasce na origem, cresce até raio
em
e volta à origem em
. Repetindo de modo análogo nos outros intervalos, obtém‑se as demais pétalas.
Passo 8
Forma final e simetrias — descrição para o esboço:
- A curva é a chamada “rosa” (rose curve) com
pétalas. Em geral dá pétalas se é ímpar e pétalas se é par; aqui (par), resultando em pétalas. - Cada pétala tem comprimento máximo
. - As pétalas estão centradas nas direções
. - Zeros (cruzamentos na origem) ocorrem em
, que são as “pontas” entre as pétalas. - A curva é simétrica por rotações de
e por reflexões apropriadas (por exemplo, troca etc.).
Passo 9
Como esboçar na prática (passo a passo para a prova):
- Marque a origem e os eixos.
- Marque as direções
. - Em cada intervalo entre zeros (por exemplo
a ), desenhe um arco que parte da origem, cresce até raio em e volta à origem em . - Repita para os outros 3 intervalos, lembrando que onde
fica negativo você deve desenhar o ponto no sentido oposto (isto é automaticamente tratado se usar os valores de com a regra → ângulo ). - O resultado são quatro pétalas simétricas com ponta externa a distância
do centro.
Passo 10
Resumo final prático (o que você deve escrever/mostrar na prova):
- Indicar zeros e máximos com seus ângulos.
- Dizer que a curva é uma rosa de
pétalas com comprimento máximo e listar as direções centrais das pétalas.
Resposta
A curva é uma rosa com
pétalas, cada pétala de comprimento máximo
, centradas nas direções
.