Encontre uma equação em coordenadas polares equivalente a cada uma das equações dadas em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O problema pede: converter a equação dada em coordenadas cartesianas para uma equação equivalente em coordenadas polares.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A equação cartesiana é
.
Objetivo: encontrar a expressão deem função de (ou outra forma equivalente) que represente a mesma reta no plano usando coordenadas polares.
Passo 2
Lembrete (definição de coordenadas polares) — isto é a parte teórica que você precisa entender e lembrar para fazer a conversão:\n
- Em coordenadas polares, cada ponto é dado por
, onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo entre o eixo positivo e o raio que vai da origem ao ponto. - As relações entre as coordenadas cartesianas
e as polares são:
Explicando:
é a componente horizontal (comprimento do cateto adjacente ao ângulo
) e
é a componente vertical (cateto oposto). Essas fórmulas valem para qualquer ponto exceto que
pode ser negativo em algumas convenções, mas aqui usaremos a convenção padrão onde
pode ser real.
Passo 3
Substituir
e
pelas expressões polares na equação dada. Começando por:
Substituindo
e
, obtemos:
Passo 4
Isolar
. Primeiro agrupar os termos com
do mesmo lado:
Fatorando
à esquerda:
Agora dividir ambos os lados por
(quando isso for possível), obtendo:
É mais comum apresentar o sinal positivo no numerador, então multiplicando numerador e denominador por
chegamos à forma
Essas duas expressões são equivalentes; vou usar a segunda porque fica mais limpa.
Passo 5
Condições de validade e interpretação prática:\n
- A fórmula
só vale quando o denominador for diferente de zero. Portanto é preciso excluir os ângulos tais que
Resolver essa igualdade:
Logo os ângulos proibidos são
ou seja, para essas direções o valor de
fica indefinido (tendendo a infinito), o que corresponde à forma típica de uma reta que não passa pela origem: para certas direções da semirreta a interseção com a reta fica “no infinito”. Fora desses ângulos, a expressão fornece o
correspondente ao ponto da reta na direção
.
Passo 6
Checagem rápida com exemplos numéricos simples (para ganhar confiança):\n
- Para
: , . Então
Isso dá o ponto
,
. Verificando na forma cartesiana:
. OK. \n
- Para
: . Então
Isso dá
,
, que satisfaz
. Bom sinal de que a conversão está correta.