Encontre uma equação em coordenadas polares equivalente a cada uma das equações dadas em coordenadas cartesianas.
y=2 x-1

Passo 1

O problema pede: converter a equação dada em coordenadas cartesianas para uma equação equivalente em coordenadas polares.
Informações fornecidas:
  • A equação cartesiana é y=2x-1.
    Objetivo: encontrar a expressão de r em função de \theta (ou outra forma equivalente) que represente a mesma reta no plano usando coordenadas polares.

Passo 2

Lembrete (definição de coordenadas polares) — isto é a parte teórica que você precisa entender e lembrar para fazer a conversão:\n
  • Em coordenadas polares, cada ponto é dado por (r,\theta), onde r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo entre o eixo positivo x e o raio que vai da origem ao ponto.
  • As relações entre as coordenadas cartesianas (x,y) e as polares (r,\theta) são:
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
Explicando: x é a componente horizontal (comprimento do cateto adjacente ao ângulo \theta) e y é a componente vertical (cateto oposto). Essas fórmulas valem para qualquer ponto exceto que r pode ser negativo em algumas convenções, mas aqui usaremos a convenção padrão onde r pode ser real.

Passo 3

Substituir x e y pelas expressões polares na equação dada. Começando por:
y = 2x - 1
Substituindo x = r\cos\theta e y = r\sin\theta, obtemos:
r\sin\theta = 2\bigl(r\cos\theta\bigr) - 1

Passo 4

Isolar r. Primeiro agrupar os termos com r do mesmo lado:
r\sin\theta - 2r\cos\theta = -1
Fatorando r à esquerda:
r\bigl(\sin\theta - 2\cos\theta\bigr) = -1
Agora dividir ambos os lados por \sin\theta - 2\cos\theta (quando isso for possível), obtendo:
r = \dfrac{-1}{\sin\theta - 2\cos\theta}
É mais comum apresentar o sinal positivo no numerador, então multiplicando numerador e denominador por -1 chegamos à forma
r = \dfrac{1}{2\cos\theta - \sin\theta}
Essas duas expressões são equivalentes; vou usar a segunda porque fica mais limpa.

Passo 5

Condições de validade e interpretação prática:\n
  • A fórmula r = \dfrac{1}{2\cos\theta - \sin\theta} só vale quando o denominador for diferente de zero. Portanto é preciso excluir os ângulos \theta tais que
2\cos\theta - \sin\theta = 0.
Resolver essa igualdade:
2\cos\theta = \sin\theta \quad\Rightarrow\quad \tan\theta = 2.
Logo os ângulos proibidos são
\theta = \arctan(2) + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
ou seja, para essas direções o valor de r fica indefinido (tendendo a infinito), o que corresponde à forma típica de uma reta que não passa pela origem: para certas direções da semirreta a interseção com a reta fica “no infinito”. Fora desses ângulos, a expressão fornece o r correspondente ao ponto da reta na direção \theta.

Passo 6

Checagem rápida com exemplos numéricos simples (para ganhar confiança):\n
  • Para \theta=0: \cos 0=1, \sin 0=0. Então
r=\dfrac{1}{2\cdot 1 - 0}=\dfrac{1}{2}.
Isso dá o ponto x=r\cos\theta=\tfrac{1}{2}, y=r\sin\theta=0. Verificando na forma cartesiana: 0 = 2\cdot\tfrac{1}{2}-1 =0. OK. \n
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{4}: \cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então
r=\dfrac{1}{2\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} - \tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{1}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}.
Isso dá x=1, y=1, que satisfaz 1=2\cdot 1 -1. Bom sinal de que a conversão está correta.

Resposta

r=\dfrac{1}{2\cos\theta-\sin\theta}

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