Encontre uma equação em coordenadas polares das seguintes equações cartesianas. Expresse como uma função rho(theta).
(x^2+y^2)^2=4 x y

Passo 1

Neste problema a gente precisa converter a equação cartesiana (x^2+y^2)^2=4xy para coordenadas polares, ou seja, encontrar rho(theta). Vamos usar as relações x=rhocostheta, y=rhosintheta e rho^2=x^2+y^2, além de identidades trigonométricas.

Passo 2

Substituímos as definições polares na equação original:
(rho^2)^2 ,=, 4,(rhocostheta),(rhosintheta)

Passo 3

Observamos que (rho^2)^2=rho^4. Como estamos interessados na curva não trivial ( rhoneq0), dividimos ambos os lados por rho^2 e obtemos
rho^2 = 4costhetasintheta

Passo 4

Usamos a identidade sin2theta=2sinthetacostheta para reescrever o lado direito:
4costhetasintheta = 2,(2sinthetacostheta) = 2sin2theta

Passo 5

Logo a expressão para rho^2 fica
rho^2 = 2sin2theta

Passo 6

Extraímos a raiz quadrada, garantindo que sin2theta>=0 para rho real, e chegamos em
rho(theta)=raiz2sin2theta

Resposta

rho(theta)=raiz2sin2theta

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