Encontre uma equação para a curva de nível da função
que passa pelo ponto dado.
,
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. A pergunta é: encontrar uma equação para a curva de nível de
que passa por esse ponto.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função:
. - O ponto dado:
. - O que é pedido: a equação da curva de nível (ou conjunto de pontos
para os quais tem o mesmo valor que no ponto dado).
Passo 2
O que é uma curva de nível e como vamos encontrar a equação:
- Definição: para uma função
, a curva de nível associada ao valor é o conjunto . - Estratégia prática: primeiro calculamos o valor
. Em seguida escrevemos a equação e simplificamos para obter a forma desejada da curva.
Passo 3
Calcular o valor
. Vou substituir o ponto na função e desenvolver as potências passo a passo:
Agora calcular cada quadrado:
Portanto
Passo 4
Escrever a equação da curva de nível correspondente a
. Começo impondo
:
Isolando os termos quadráticos:
Passo 5
Interpretação e formas equivalentes da resposta (úteis para a prova):
- A equação encontrada é
. Essa é a equação de um círculo centrado na origem com raio . - Forma alternativa (equivalente):
— que é exatamente . - Verificação rápida: substituindo o ponto dado em
obtém-se , logo o ponto está de fato na curva.