Encontre uma equação para a curva de nível da função f(x, y) que passa pelo ponto dado.
f(x, y)=16-x^{2}-y^{2}, (2 \sqrt{2}, \sqrt{2})

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=16-x^{2}-y^{2} e o ponto \bigl(2\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr). A pergunta é: encontrar uma equação para a curva de nível de f que passa por esse ponto.
Informações relevantes que temos:
  • A função: f(x,y)=16-x^{2}-y^{2}.
  • O ponto dado: \bigl(2\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr).
  • O que é pedido: a equação da curva de nível (ou conjunto de pontos (x,y) para os quais f(x,y) tem o mesmo valor que no ponto dado).

Passo 2

O que é uma curva de nível e como vamos encontrar a equação:
  • Definição: para uma função f(x,y), a curva de nível associada ao valor c é o conjunto \{(x,y)\mid f(x,y)=c\}.
  • Estratégia prática: primeiro calculamos o valor c=f\bigl(2\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr). Em seguida escrevemos a equação f(x,y)=c e simplificamos para obter a forma desejada da curva.

Passo 3

Calcular o valor c=f\bigl(2\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr). Vou substituir o ponto na função e desenvolver as potências passo a passo:
c=f\bigl(2\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr)=16-\bigl(2\sqrt{2}\bigr)^{2}-\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}.
Agora calcular cada quadrado:
\bigl(2\sqrt{2}\bigr)^{2}=4\cdot(\sqrt{2})^{2}=4\cdot 2=8, \qquad \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}=2.
Portanto
c=16-8-2=6.

Passo 4

Escrever a equação da curva de nível correspondente a c=6. Começo impondo f(x,y)=6:
16-x^{2}-y^{2}=6.
Isolando os termos quadráticos:
x^{2}+y^{2}=16-6=10.

Passo 5

Interpretação e formas equivalentes da resposta (úteis para a prova):
  • A equação encontrada é \,x^{2}+y^{2}=10. Essa é a equação de um círculo centrado na origem (0,0) com raio \sqrt{10}.
  • Forma alternativa (equivalente): 16-x^{2}-y^{2}=6 — que é exatamente f(x,y)=6.
  • Verificação rápida: substituindo o ponto dado em \,x^{2}+y^{2} obtém-se (2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}=8+2=10, logo o ponto está de fato na curva.

Resposta

x^{2}+y^{2}=10

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