Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente
Def.: A derivada direcional de uma função
em
na direção do vetor unitário
é
Teorema 1. Se
é diferenciável e
é um vetor unitário, então
onde
. Ainda,
, para qualquer vetor unitário
.
Def.: A derivada direcional de uma função
Passo 1
Beleza, vamos falar sobre Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente! Basicamente, a derivada direcional mede como uma função muda em uma direção específica em um ponto, e o vetor gradiente nos dá a direção de maior crescimento da função. Para entender isso, vamos precisar da definição da derivada direcional, do teorema que relaciona ela com o vetor gradiente, e como aplicar essas ideias na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Imagine que você tem uma função
e quer saber como ela está mudando em uma direção específica no ponto
. A derivada direcional nessa direção é calculada usando a fórmula:
Aqui,
é um vetor unitário que indica a direção.
Passo 3
Agora, o que significa um vetor gradiente? O vetor gradiente de
no ponto
é dado por:
Onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Esse vetor aponta na direção onde a função cresce mais rapidamente.
Passo 4
O Teorema 1 nos diz que se
é diferenciável e
é um vetor unitário, então a derivada direcional de
na direção de
pode ser calculada como o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor direção
:
Isso facilita muito o cálculo porque em vez de usar o limite, basta calcular as derivadas parciais e fazer o produto escalar.
Passo 5
Vamos ver como aplicar isso na prática com um exemplo. Suponha que temos a função
e queremos encontrar a derivada direcional no ponto
na direção do vetor
.
Passo 6
Primeiro, vamos transformar o vetor
em um vetor unitário. A magnitude de
é:
Então, o vetor unitário é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o vetor gradiente de
. As derivadas parciais são:
Então, no ponto
:
Passo 8
Aplicando o Teorema 1, a derivada direcional é o produto escalar entre
e
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é 4.4.