Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente
Def.: A derivada direcional de uma função z=f(x, y) em (x0, y0) na direção do vetor unitário u=(a, b) é
Du f(x0, y0)=lim h 0 f(x0+h a, y0+h b)-f(x0, y0)h
Teorema 1. Se z=f(x, y) é diferenciável e u=(a, b) é um vetor unitário, então
Du f(x, y)=fx(x, y) a+fy(x, y) b=lang<=nabla f(x, y), urang<=
onde nabla f(x, y)=(fx(x, y), fy(x, y)). Ainda, -|nabla f| <= Du f <=|nabla f|, para qualquer vetor unitário u.

Passo 1

Beleza, vamos falar sobre Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente! Basicamente, a derivada direcional mede como uma função muda em uma direção específica em um ponto, e o vetor gradiente nos dá a direção de maior crescimento da função. Para entender isso, vamos precisar da definição da derivada direcional, do teorema que relaciona ela com o vetor gradiente, e como aplicar essas ideias na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Imagine que você tem uma função Du f(x0, y0) = limh 0 f(x0 + h a, y0 + h b) - f(x0, y0)h e quer saber como ela está mudando em uma direção específica no ponto . A derivada direcional nessa direção é calculada usando a fórmula:
Aqui, é um vetor unitário que indica a direção.

Passo 3

Agora, o que significa um vetor gradiente? O vetor gradiente de nabla f(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)) no ponto é dado por:
Onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Esse vetor aponta na direção onde a função cresce mais rapidamente.

Passo 4

O Teorema 1 nos diz que se Du f(x, y) = fx(x, y) a + fy(x, y) b = lang<= nabla f(x, y), u rang<= é diferenciável e é um vetor unitário, então a derivada direcional de na direção de pode ser calculada como o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor direção :
Isso facilita muito o cálculo porque em vez de usar o limite, basta calcular as derivadas parciais e fazer o produto escalar.

Passo 5

Vamos ver como aplicar isso na prática com um exemplo. Suponha que temos a função e queremos encontrar a derivada direcional no ponto na direção do vetor .

Passo 6

Primeiro, vamos transformar o vetor |u| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 em um vetor unitário. A magnitude de u = (35, 45) é:
Então, o vetor unitário é:

Passo 7

Agora, vamos calcular o vetor gradiente de fx = 2x fy = 2y . As derivadas parciais são:
nabla f(1, 2) = (2 cdot 1, 2 cdot 2) = (2, 4)
Então, no ponto :

Passo 8

Aplicando o Teorema 1, a derivada direcional é o produto escalar entre Du f(1, 2) = lang<= (2, 4), (35, 45) rang<= = 2 cdot 35 + 4 cdot 45 = 65 + 165 = 225 = 4.4 e :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é 4.4.

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