Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y=c1 e^-2+c2 e^-2 t.

Passo 1

O enunciado nos dá que a solução geral é y = c1 e^-2 + c2 e^-2t. Trata-se de uma EDO linear homogênea de coeficientes constantes, já que a solução combina exponenciais.

Passo 2

Observando os termos independentes em t, vemos duas soluções fundamentais: a constante (equivalente a e^0t) e e^-2t. Na teoria de EDOs lineares, cada termo e^rt corresponde a uma raiz r da equação característica. Assim obtemos as raízes r=0 e r=-2.

Passo 3

Formamos a equação característica multiplicando os fatores correspondentes às raízes: r(r+2)=0, que expande para r^2+2r=0. A partir daí, a equação diferencial associada é

Passo 4

dfracd^2ydt^2 + 2,dfracdydt = 0

Resposta

dfracd^2ydt^2 + 2,dfracdydt = 0

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