Quais das sequências
convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
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Passo 1
Vamos resolver um exercício de sequências para descobrir se elas convergem ou divergem e, se convergirem, encontrar o limite delas. A sequência que vamos analisar é $ a_{n} = 2^{n} $. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir ou divergir e como encontrar o limite de uma sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência $ {a_{n}} $ converge se, à medida que $ n $ cresce, os termos $ a_{n} $ se aproximam cada vez mais de um número específico chamado limite. Se os termos não se aproximam de nenhum número fixo, dizemos que a sequência diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência $ a_{n} = 2^{n} $. Aqui, estamos elevando o número 2 a potências cada vez maiores conforme $ n $ aumenta.
Passo 4
Vamos calcular alguns termos para entender o comportamento:
- $ a_{1} = 2^{1} = 2 $
- $ a_{2} = 2^{2} = 4 $
- $ a_{3} = 2^{3} = 8 $
- $ a_{4} = 2^{4} = 16 $
- E assim por diante.
Passo 5
Observamos que os termos estão crescendo exponencialmente, ou seja, aumentando muito rápido à medida que $ n $ aumenta.
Passo 6
Para ver se a sequência converge, vamos pensar no limite quando $ n $ tende ao infinito:
Como 2 é maior que 1, $ 2^{n} $ cresce sem limites à medida que $ n $ aumenta. Portanto, esse limite é infinito.
Passo 7
Já que o limite não é um número finito, dizemos que a sequência diverge.
Resposta
A sequência $ a_{n} = 2^{n} $ diverge. Portanto, ela não tem um limite finito.