Quais das sequências an convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
(a) an=2^n

Passo 1

Vamos resolver um exercício de sequências para descobrir se elas convergem ou divergem e, se convergirem, encontrar o limite delas. A sequência que vamos analisar é $ a_{n} = 2^{n} $. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir ou divergir e como encontrar o limite de uma sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência $ {a_{n}} $ converge se, à medida que $ n $ cresce, os termos $ a_{n} $ se aproximam cada vez mais de um número específico chamado limite. Se os termos não se aproximam de nenhum número fixo, dizemos que a sequência diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência $ a_{n} = 2^{n} $. Aqui, estamos elevando o número 2 a potências cada vez maiores conforme $ n $ aumenta.

Passo 4

Vamos calcular alguns termos para entender o comportamento:
  • $ a_{1} = 2^{1} = 2 $
  • $ a_{2} = 2^{2} = 4 $
  • $ a_{3} = 2^{3} = 8 $
  • $ a_{4} = 2^{4} = 16 $
  • E assim por diante.

Passo 5

Observamos que os termos estão crescendo exponencialmente, ou seja, aumentando muito rápido à medida que $ n $ aumenta.

Passo 6

Para ver se a sequência converge, vamos pensar no limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Como 2 é maior que 1, $ 2^{n} $ cresce sem limites à medida que $ n $ aumenta. Portanto, esse limite é infinito.

Passo 7

Já que o limite não é um número finito, dizemos que a sequência diverge.

Resposta

A sequência $ a_{n} = 2^{n} $ diverge. Portanto, ela não tem um limite finito.

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