Calcule:
integral e^3 z cos (4 z) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma exponencial multiplicada por um cosseno, ou seja, I=integral e^3zcos(4z),dz. Esse tipo de integral costuma ser resolvido por integração por partes, aplicando o método duas vezes e depois isolando I.

Passo 2

Definimos
I=integral e^3zcos(4z),dz
Escolhemos na primeira aplicação de partes
u=e^3z, dv=cos(4z),dz, então
du=3e^3z,dz e v=tfracsin(4z)4. Logo,
I=uv-integral v,du=e^3zsin(4z)4-34integral e^3zsin(4z),dz
Chamando J=integral e^3zsin(4z),dz, temos
I=e^3zsin(4z)4-34J

Passo 3

Para calcular J, aplicamos partes de novo com
u=e^3z, dv=sin(4z),dz, obtendo
du=3e^3z,dz e v=-tfraccos(4z)4. Assim,
$$J=uv-\int v,du=-\frac{e^{3z}\cos(4z)}{4}+\frac{3}{4}\int e^{3z}\cos(4z),dz.
J=uv-integral v,du=-e^3zcos(4z)4+34integral e^3zcos(4z),dz áJ=-\frac{e^{3z}\cos(4z)}{4}+\frac{3}{4}I.$$

Passo 4

Substituindo J na expressão de I e simplificando, isolamos I:
I=e^3zsin(4z)4-34l(-e^3zcos(4z)4+34Ir) =e^3z25l(4sin(4z)+3cos(4z)r)

Resposta

I=e^3z25l(4sin(4z)+3cos(4z)r)+C

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