Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
.
Passo 1
Neste exercício, a gente quer encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja
. O conteúdo envolvido é equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a teoria da equação característica associada a esse tipo de ODE.
Passo 2
Observando a solução, o termo
indica uma raiz da equação característica
. Já o termo
é apenas uma constante (pois
é um número fixo), o que equivale a
. Logo, temos uma segunda raiz
.
Passo 3
Com as raízes
e
, o polinômio característico é dado por
que se expande para
Passo 4
A equação diferencial associada ao polinômio
é obtida substituindo
por
e
por
, onde
é o operador
. Assim, temos
que em notação usual fica
Passo 5
Podemos verificar que a solução geral dessa equação é exatamente
, e como
é constante, basta reescrevê-lo como
(já que
é só um fator fixo) para coincidir com o enunciado.