Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y=c1 e^2 x+c2 e^-3.

Passo 1

Neste exercício, a gente quer encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja y=c1e^2x+c2e^-3. O conteúdo envolvido é equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a teoria da equação característica associada a esse tipo de ODE.

Passo 2

Observando a solução, o termo c1e^2x indica uma raiz da equação característica r=2. Já o termo c2e^-3 é apenas uma constante (pois e^-3 é um número fixo), o que equivale a c2'e^0,x. Logo, temos uma segunda raiz r=0.

Passo 3

Com as raízes r1=2 e r2=0, o polinômio característico é dado por
r(r-2)=0
que se expande para
r^2-2r=0

Passo 4

A equação diferencial associada ao polinômio r^2-2r=0 é obtida substituindo r^2 por D^2 e r por D, onde D é o operador ddx. Assim, temos
D^2y-2Dy=0
que em notação usual fica
y''-2y'=0

Passo 5

Podemos verificar que a solução geral dessa equação é exatamente y=C1e^2x+C2, e como C2 é constante, basta reescrevê-lo como c2e^-3 (já que e^-3 é só um fator fixo) para coincidir com o enunciado.

Resposta

y''-2y'=0

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