Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y=e^-x2[A cos (x2)+B sen(x2)].

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma equação diferencial cuja solução geral é
y = e^-x2l[Acosl(tfracx2r) + Bsinl(tfracx2r)r]
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a relação entre a forma exponencial-oscilatória da solução e as raízes complexas da equação característica.

Passo 2

Reconhecemos que, em geral, uma solução do tipo
y = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
corresponde a raízes complexas alpha pm ibeta da equação característica. Comparando com o enunciado, vemos que
alpha = -tfrac12, beta = tfrac12,
logo as raízes são
r = -tfrac12 pm i,tfrac12

Passo 3

Para montar o polinômio característico, escrevemos o produto das raízes:
(r - (-tfrac12 + itfrac12))(r - (-tfrac12 - itfrac12)) = 0
que pode ser reorganizado como
(r + tfrac12)^2 + l(tfrac12r)^2 = 0

Passo 4

Bastando expandir, obtemos
(r + tfrac12)^2 + tfrac14 = r^2 + r + tfrac12 = 0
Esse é o polinômio característico, e a equação diferencial associada é
y'' + y' + tfrac12,y = 0

Resposta

y'' + y' + tfrac12,y = 0

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