Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
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Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma equação diferencial cuja solução geral é
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a relação entre a forma exponencial-oscilatória da solução e as raízes complexas da equação característica.
Passo 2
Reconhecemos que, em geral, uma solução do tipo
corresponde a raízes complexas
da equação característica. Comparando com o enunciado, vemos que
logo as raízes são
Passo 3
Para montar o polinômio característico, escrevemos o produto das raízes:
que pode ser reorganizado como
Passo 4
Bastando expandir, obtemos
Esse é o polinômio característico, e a equação diferencial associada é