A posição de uma partícula é tal que
dd t r(t)=3 i+4 j-t k e r(0)=2 k
Determine o raio de curvatura rho(t) da curva descrita pela função r.

Passo 1

Temos a derivada da posição r'(t)=3i+4j-tk e a condição inicial r(0)=2k. O conteúdo aqui é curvatura de curva paramétrica, onde kappa(t)=dfraclvertr'(t)timesr''(t)rvertlvertr'(t)rvert^3 e o raio de curvatura é rho(t)=1/kappa(t).

Passo 2

Calculamos a segunda derivada (aceleração) a partir de r'(t):
r''(t)=ddt(3i+4j-tk)=0i+0j-1k=-k

Passo 3

Calculamos o produto vetorial:
r'(t)timesr''(t)=(3i+4j-tk)times(-k)=-4i+3j+0k
Observe que r'(t)timesr''(t)=-4i+3j.

Passo 4

Determinamos as magnitudes:
  • lvertr'(t)timesr''(t)rvert=raiz(-4)^2+3^2=5.
  • lvertr'(t)rvert=raiz3^2+4^2+t^2=raiz25+t^2.

Passo 5

Usando a fórmula da curvatura:
kappa(t)=5(raiz25+t^2)^3=5(25+t^2)^3/2

Passo 6

Finalmente, o raio de curvatura é o inverso da curvatura:
rho(t)=1kappa(t)=(25+t^2)^3/25

Resposta

rho(t)=dfrac(25+t^2)^3/25

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