Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y=A e^2 x+B e^-3 x.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar uma equação diferencial homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes cuja solução geral seja y = A e^2x + B e^-3x. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Na teoria de equações lineares homogêneas de 2ª ordem com coeficientes constantes, supomos uma solução do tipo y=e^rx, o que leva à equação característica r^2 + p,r + q = 0. Como nossa solução geral é combinação de e^2x e e^-3x, as raízes são r1=2 e r2=-3. Assim o polinômio característico é
(r-2)(r+3)=0

Passo 3

que expande para
r^2 + r - 6 = 0

Passo 4

Logo identificamos os coeficientes p=1 e q=-6.

Passo 5

Substituindo esses valores na equação diferencial homogênea padrão y'' + p,y' + q,y = 0, chegamos a:

Resposta

y'' + y' - 6y = 0

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