Sabendo que a função definida por
f(x)= sen xx-pi, & x neq pi -1, & x=pi
é contínua, determine, se existir, lim x pi f(x).

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x)=sin xx-pi(xneqpi)\nquando x→π, sabendo que f é contínua em x=π e que f(π)=,-1. Isso cai em dois tópicos principais: cálculo de limite de uma forma 0/0 e a definição de continuidade (limite igual ao valor da função).

Passo 2

Ao aproximar x de π, temos sin xtosinpi=0 e x-pito0, então dá uma forma indeterminada 0/0. Nesses casos, a gente usa a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador separadamente.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital: o numerador sin x vira cos x e o denominador x-pi vira 1. Logo
limxtopisin xx-pi=limxtopicos x1=cospi=-1

Resposta

-1

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