Seja a EDO a y^prime prime+b y^prime+c y=0 de coeficientes constantes. Seja De o discriminante da equação característica.
Mostre que se De então e^-b x2 a sen(omega x) é solução, onde omega=raiz|De.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
a y’’ + b y’ + c y = 0
se o discriminante Δ = b^2 – 4 a c é negativo, então a função
y(x) = e^-b x2 a sin(omega x)
é solução, com omega = raiz|De. Vamos usar teoria de raízes complexas e cálculo de derivadas.

Passo 2

A equação característica associada é
a r^2 + b r + c = 0
com discriminante
De
Como De, definimos
alpha = -b2a, omega = raiz|De

Passo 3

Pela teoria, quando as raízes são r = alpha pm iomega, duas soluções reais independentes da EDO são
y1(x)=e^alpha xcos(omega x), y2(x)=e^alpha xsin(omega x)
Então basta escolher
y(x)=y2(x)=e^alpha xsin(omega x)

Passo 4

Vamos verificar por substituição. Primeiro calculemos as derivadas de
y(x)=e^alpha xsin(omega x)
Produto e regra da cadeia dão
y'(x)=alpha e^alpha xsin(omega x) + omega e^alpha xcos(omega x),
y''(x)=alpha^2 e^alpha xsin(omega x) + 2alphaomega e^alpha xcos(omega x) - omega^2 e^alpha xsin(omega x)

Passo 5

Agora substituímos em a y'' + b y' + c y e fatoramos e^alpha x:
Termo em sin(omega x):
a(alpha^2 - omega^2) + balpha + c,
Termo em cos(omega x):
2aalphaomega + bomega
Como alpha=-tfracb2a e omega^2=tfrac4ac-b^24a^2, verificamos que
2aalpha + b = -b + b = 0
e
a(alpha^2-omega^2)+balpha+c=0
Logo ambos os coeficientes são zero, e a soma dá zero.

Passo 6

Portanto a função
y(x)=e^-b x2 asinl(tfracraiz|De
satisfaça a EDO original.

Resposta

e^-b x2 asin(omega x) é solução da EDO a y''+b y'+c y=0, com omega=tfracraiz|De.

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