Seja a EDO
de coeficientes constantes. Seja
o discriminante da equação característica.
Mostre que se
então
é solução, onde
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
a y’’ + b y’ + c y = 0
se o discriminante Δ = b^2 – 4 a c é negativo, então a função
é solução, com
. Vamos usar teoria de raízes complexas e cálculo de derivadas.
Passo 2
A equação característica associada é
com discriminante
Como
, definimos
Passo 3
Pela teoria, quando as raízes são
, duas soluções reais independentes da EDO são
Então basta escolher
Passo 4
Vamos verificar por substituição. Primeiro calculemos as derivadas de
Produto e regra da cadeia dão
Passo 5
Agora substituímos em
e fatoramos
:
Termo em
:
Termo em
:
Como
e
, verificamos que
e
Logo ambos os coeficientes são zero, e a soma dá zero.
Passo 6
Portanto a função
satisfaça a EDO original.