Encontre uma equação diferencial linear com coeficientes constantes y^prime prime+p y^prime+ q y=0 cuja solução geral seja c1+c2 x e^x.

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes

cuja solução geral seja

Vamos usar o método da equação característica para ODEs com coeficientes constantes.

Passo 2

Para uma ODE homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral vem das raízes da equação característica
r^2 + p r + q = 0
• Se as raízes r1 e r2 forem distintas, as soluções são e^r1 x e e^r2 x.
• Se houver raiz dupla r0, as soluções são e^r0 x e x e^r0 x.

Passo 3

Na solução desejada temos duas funções linearmente independentes:
x e^x e 1.
Para que r=0 apareça, precisamos de uma raiz x e^x na característica.
Para que r=1 apareça, precisaríamos de multiplicidade 2 em .
Mas como a equação característica é de segundo grau, a soma das multiplicidades das raízes deve ser 2.

Passo 4

Se tentarmos atribuir multiplicidade, teríamos duas opções:
  1. r=0 simples e r=1 simples ⇒ soluções: e^0x=1 e e^x, não aparece x e^x.
  2. r=1 dupla ⇒ soluções: e^x e x e^x, não aparece 1.
    Em nenhuma das opções obtemos simultaneamente 1 e x e^x como base do espaço de soluções.

Passo 5

Portanto não existe nenhuma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral seja exatamente c1 + c2 x e^x.

Resposta

Não existe equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral seja c1 + c2 x e^x.

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