Encontre uma equação diferencial linear com coeficientes constantes
cuja solução geral seja
.
Passo 1
O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
cuja solução geral seja
Vamos usar o método da equação característica para ODEs com coeficientes constantes.
cuja solução geral seja
Vamos usar o método da equação característica para ODEs com coeficientes constantes.
Passo 2
Para uma ODE homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral vem das raízes da equação característica
• Se as raízes
e
forem distintas, as soluções são
e
.
• Se houver raiz dupla , as soluções são
e
.
• Se houver raiz dupla
Passo 3
Na solução desejada temos duas funções linearmente independentes:
e
.
Para que apareça, precisamos de uma raiz
na característica.
Para que apareça, precisaríamos de multiplicidade 2 em
.
Mas como a equação característica é de segundo grau, a soma das multiplicidades das raízes deve ser 2.
Para que
Para que
Mas como a equação característica é de segundo grau, a soma das multiplicidades das raízes deve ser 2.
Passo 4
Se tentarmos atribuir multiplicidade, teríamos duas opções:
-
simples e simples ⇒ soluções: e , não aparece . -
dupla ⇒ soluções: e , não aparece .
Em nenhuma das opções obtemos simultaneamentee como base do espaço de soluções.
Passo 5
Portanto não existe nenhuma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral seja exatamente
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Resposta
Não existe equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral seja
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