Obtenha uma solução geral. Confirme sua resposta por substituição.
a) y^prime prime-6 y^prime-7 y=0( Resp. y=c1 e^7 x+c2 e^-x)
b) 4 y^prime prime-20 y^prime+25 y=0( Resp. y=(c1+c2 x) e^2,5 x)
c) 100 y^prime prime+20 y^prime-99 y=0( Resp. y=c1 e^0,9 x+c2 e^-1,1 x)
d) y^prime prime-y^prime+2,5 y=0( Resp. y=e^0,5 x(A cos (1,5 x)+B sin (1,5 x)))
e) y^prime prime-2 y^prime-5,25 y=0( Resp. y=c1 e^3,5 x+c2 e^-1,5 x)
f) y^prime prime+9 pi^2 y=0 (Resp. y=A cos (3 pi x)+B sin (3 pi x))
g) y^prime prime-144 y=0( Resp. y=c1 e^12 x+c2 e^-12 x)

Passo 1

Nesse exercício, a gente vai resolver várias equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. O que precisamos fazer é assumir uma solução do tipo y=e^rx, montar a equação característica em r, encontrar as raízes e, a partir delas, escrever a solução geral. Por fim, confirmamos cada resultado calculando y' e y'' e substituindo de volta na equação.

Passo 2

Para a parte (a), a equação característica é
r^2 - 6r - 7 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes r=7 e r=-1. Assim,
y = c1 e^7x + c2 e^-x
Para confirmar, derivamos:
y'=7c1 e^7x - c2 e^-x e y''=49c1 e^7x + c2 e^-x e vemos que
y'' -6y' -7y=0.

Passo 3

Para a parte (b), a equação característica é
4r^2 -20r +25 = 0
O discriminante é zero, logo temos raiz dupla r=208=2.5. A solução geral fica
y=(c1 + c2 x)e^2.5x
Confirmando, ao derivar duas vezes e substituir em 4y''-20y'+25y=0 obtemos igualdade.

Passo 4

Na parte ©, a equação característica é
100r^2 +20r -99 = 0
Calculando, De, então
r=-20pm200200=0.9 ou -1.1
Logo
y=c1 e^0.9x+c2 e^-1.1x
Derivando e substituindo confirma-se a ED.

Passo 5

Para (d), a equação característica é
r^2 - r +2.5 = 0
O discriminante é 1-10=-9, raízes complexas r=0.5pm1.5i. Assim,
$$y=e^{0.5x}\bigl(A\cos(1.5x)+B\sin(1.5x)\bigr).
$$
Derivando e substituindo em y=e^0.5xl(Acos(1.5x)+Bsin(1.5x)r) confirma-se.

Passo 6

Na parte (e), a equação característica é
r^2 -2r -5.25 = 0
Temos De e
r=2pm52=3.5 ou -1.5
Portanto,
y=c1 e^3.5x+c2 e^-1.5x,
confirmado por substituição.

Passo 7

Para (f), a equação característica é
r^2 +9pi^2 = 0,
raiz r=pm3ipi. A solução geral é
y=Acos(3pi x)+Bsin(3pi x),
que, ao derivar e substituir em y''+9pi^2y=0, satisfaz a equação.

Passo 8

Na parte (g), a equação característica é
r^2 -144 = 0,
raiz r=pm12. Logo
y=c1 e^12x+c2 e^-12x,
confirmado por substituir y, y' e y'' na ED.

Resposta

a) y=c1e^7x+c2e^-x
b) y=(c1+c2x)e^2.5x
c) y=c1e^0.9x+c2e^-1.1x
d) y=e^0.5xl(Acos(1.5x)+Bsin(1.5x)r)
e) y=c1e^3.5x+c2e^-1.5x
f) y=Acos(3pi x)+Bsin(3pi x)
g) y=c1e^12x+c2e^-12x

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