Obtenha uma solução geral. Confirme sua resposta por substituição.
a)
Resp.
b)
Resp.
c)
Resp.
d)
Resp.
e)
Resp.
f)
(Resp.
g)
Resp.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Nesse exercício, a gente vai resolver várias equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. O que precisamos fazer é assumir uma solução do tipo
, montar a equação característica em
, encontrar as raízes e, a partir delas, escrever a solução geral. Por fim, confirmamos cada resultado calculando
e
e substituindo de volta na equação.
Passo 2
Para a parte (a), a equação característica é
Resolvendo, obtemos as raízes
Para confirmar, derivamos:
e
e vemos que
.
Passo 3
Para a parte (b), a equação característica é
O discriminante é zero, logo temos raiz dupla
Confirmando, ao derivar duas vezes e substituir em
obtemos igualdade.
Passo 4
Na parte ©, a equação característica é
Calculando,
Logo
Derivando e substituindo confirma-se a ED.
Passo 5
Para (d), a equação característica é
O discriminante é
$$y=e^{0.5x}\bigl(A\cos(1.5x)+B\sin(1.5x)\bigr).
$$
Derivando e substituindo em confirma-se.
Derivando e substituindo em
Passo 6
Na parte (e), a equação característica é
Temos
Portanto,
confirmado por substituição.
Passo 7
Para (f), a equação característica é
raiz
que, ao derivar e substituir em
, satisfaz a equação.
Passo 8
Na parte (g), a equação característica é
raiz
confirmado por substituir
,
e
na ED.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
b)
c)
d)
e)
f)
g)