Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(2 y^2 cdot t-3) d t+(2 y cdot t^2+4) cdot d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0
com
M(t,y) = 2y^2t - 3, N(t,y) = 2y,t^2 + 4
Para verificar se é exata, calculamos
partial Mpartial y = partialpartial y(2y^2t - 3) = 4y,t,
partial Npartial t = partialpartial t(2y,t^2 + 4) = 4y,t
Como partial M/partial y = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 2

Buscamos uma função potencial Psi(t,y) tal que
partial Psipartial t = M(t,y)
Integramos M em relação a t:
Psi(t,y) = integral (2y^2t - 3),dt = y^2t^2 - 3t + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 3

Para determinar h(y), usamos
partial Psipartial y = N(t,y)
Calculamos
partial Psipartial y = partialpartial yl(y^2t^2 - 3t + h(y)r) = 2y,t^2 + h'(y),
e igualamos a N(t,y)=2y,t^2+4. Logo
2y,t^2 + h'(y) = 2y,t^2 + 4 Longrightarrow h'(y) = 4 Longrightarrow h(y) = 4y

Passo 4

Substituindo h(y)=4y em Psi, obtemos a solução implícita
Psi(t,y) = y^2t^2 - 3t + 4y = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

A equação é exata e a solução geral é
y^2t^2 - 3t + 4y = C

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