Determine todas raízes complexas das seguintes equações:
z^4+12 z^2+64=0;

Passo 1

Estamos resolvendo a equação de quarto grau em complexos z^4 + 12z^2 + 64 = 0. O conteúdo envolve encontrar raízes complexas de um polinômio e vamos usar uma substituição para reduzir a equação a um caso quadrático.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável w = z^2. A equação em z vira uma equação em w:
w^2 + 12w + 64 = 0

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver
w^2 + 12w + 64 = 0
O discriminante é
De
Logo,
w = -12 pm raiz-1122 = -6 pm i,2raiz7

Passo 4

Para cada raiz w encontramos z resolvendo z^2 = w. Usamos a fórmula da raiz de um número complexo a + ib:
raiza+ib = pml(raiztfrac|w| + a2 + i,sgn(b)raiztfrac|w| - a2r)
Aqui a = -6, b = pm2raiz7 e o módulo |w| = raiz(-6)^2 + (2raiz7)^2 = 8.

Passo 5

Para w1 = -6 + i2raiz7 obtemos
raizw1 = pml(1 + iraiz7r)
Para w2 = -6 - i2raiz7 obtemos
raizw2 = pml(1 - iraiz7r)
Isso gera quatro raízes distintas para z.

Resposta

As raízes são
;1 + iraiz7,;-1 - iraiz7,;1 - iraiz7,;-1 + iraiz7.

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