Determine todas raízes complexas das seguintes equações:
;
Passo 1
A equação que temos é
Isso cai no tema de raízes de ordem 4 de números complexos. Para resolver, vamos usar a forma trigonométrica (polar) e a fórmula de De Moivre para raízes n-ésimas.
Passo 2
Primeiro, isolamos z^4 colocando o termo complexo do outro lado:
Agora chamamos esse número de w = -8 + 8\sqrt{3},i.
Passo 3
Precisamos da forma polar de w. Calculamos o módulo:
E o argumento θ, lembrando que w está no segundo quadrante (x<0, y>0):
Logo,
Passo 4
Pela fórmula de De Moivre para raízes de ordem 4, as soluções são
Sabendo que |w|^{1/4} = 16^{1/4} = 2 e θ = 2\pi/3, isso vira
Passo 5
Basta agora calcular para cada k:
- k=0:
- k=1:
- k=2:
- k=3:
Resposta
As raízes são
.