Determine todas raízes complexas das seguintes equações:
z^4+8(1-raiz3 i)=0;

Passo 1

A equação que temos é
z^4 + 8(1 - raiz3,i) = 0
Isso cai no tema de raízes de ordem 4 de números complexos. Para resolver, vamos usar a forma trigonométrica (polar) e a fórmula de De Moivre para raízes n-ésimas.

Passo 2

Primeiro, isolamos z^4 colocando o termo complexo do outro lado:
z^4 = -8(1 - raiz3,i) = -8 + 8raiz3,i
Agora chamamos esse número de w = -8 + 8\sqrt{3},i.

Passo 3

Precisamos da forma polar de w. Calculamos o módulo:
|w| = raiz(-8)^2 + (8raiz3)^2 = raiz64 + 192 = raiz256 = 16
E o argumento θ, lembrando que w está no segundo quadrante (x<0, y>0):
tan θ = 8raiz3-8 = -raiz3 Rightarrow θ = pi - pi3 = 2pi3
Logo,
w = 16,e^i,2pi/3 .

Passo 4

Pela fórmula de De Moivre para raízes de ordem 4, as soluções são
zk = |w|^1/4,e^i,(θ + 2kpi)/4, k = 0,1,2,3
Sabendo que |w|^{1/4} = 16^{1/4} = 2 e θ = 2\pi/3, isso vira
zk = 2,e^i,(2pi/3 + 2kpi)/4 = 2,e^i,(pi/6 + kpi/2), k = 0,1,2,3

Passo 5

Basta agora calcular para cada k:
  • k=0: z0 = 2e^ipi/6 = 2(tfracraiz32 + itfrac12) = raiz3 + i
  • k=1: z1 = 2e^i(pi/6 + pi/2) = 2e^i2pi/3 = -1 + iraiz3
  • k=2: z2 = 2e^i7pi/6 = -raiz3 - i
  • k=3: z3 = 2e^i5pi/3 = 1 - iraiz3

Resposta

As raízes são raiz3 + i,; -1 + iraiz3,; -raiz3 - i,; 1 - iraiz3.

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