Decida se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações abaixo, justificando sua resposta.
(a) ( ) As funções
e
são soluções da equação diferencial
no intervalo
.
(b) ( ) A função definida por partes
não é uma solução de
no intervalo
.
(a) ( ) As funções
(b) ( ) A função definida por partes
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre soluções da equação diferencial
no intervalo
é verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo é equação diferencial de 1º ordem, cuja solução geral (para
) vem de separar variáveis ou reconhecer que é linear homogênea com coeficiente singular em
.
Passo 2
Resolvendo
para
, escrevemos
e separamos as variáveis:
Logo, toda solução em qualquer intervalo sem incluir
é da forma
.
Passo 3
Testando
e
:
Para , temos
e
Para
Para
, temos
e
Ambas satisfazem a equação para todo
. Portanto (a) é verdadeira.
Passo 4
Considere
- Para
, e então . - Para
, e . - Em
, a derivada lateral esquerda é , e a lateral direita é . Logo é e . Substituindo em em dá , que também se satisfaz pois .
Portanto essa função satisfaz a equação em todo
, e a afirmação de que “não é solução” é falsa.
Resposta
(a) V
(b) F
(b) F