Decida se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações abaixo, justificando sua resposta.
(a) ( ) As funções y=phi1(x)=x^2 e y=phi2(x)=-x^2 são soluções da equação diferencial x y^prime-2 y=0 no intervalo (-infty, infty).
(b) ( ) A função definida por partes
y=cl -x^2, & se x<0 x^2, & se x >= 0
não é uma solução de x y^prime-2 y=0 no intervalo (-infty, infty).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre soluções da equação diferencial
x,y' - 2y = 0
no intervalo (-infty,infty) é verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo é equação diferencial de 1º ordem, cuja solução geral (para xneq0) vem de separar variáveis ou reconhecer que é linear homogênea com coeficiente singular em x=0.

Passo 2

Resolvendo x,y'-2y=0 para xneq0, escrevemos
y' - 2x,y = 0
e separamos as variáveis:
y'y = 2x Longrightarrow ln|y| = 2ln|x| + C Longrightarrow y = C1,x^2
Logo, toda solução em qualquer intervalo sem incluir 0 é da forma y=C1x^2.

Passo 3

Testando phi1(x)=x^2 e phi2(x)=-x^2:
Para phi1, temos phi1'=2x e
x,phi1' -2phi1 = xcdot2x -2x^2 = 0
Para phi2, temos phi2'=-2x e
x,phi2' -2phi2 = xcdot(-2x) -2(-x^2) = -2x^2 +2x^2 = 0
Ambas satisfazem a equação para todo x. Portanto (a) é verdadeira.

Passo 4

Considere
y(x)= -,x^2, & x<0, ;;x^2, & x>=0
  1. Para x<0, y'=-2x e então x,y'-2y = x(-2x)-2(-x^2)=0.
  2. Para x>0, y'=2x e x,y'-2y = xcdot2x -2x^2=0.
  3. Em x=0, a derivada lateral esquerda é limhto0^-y(h)-y(0)h=limhto0^--h^2-0h=0, e a lateral direita é limhto0^+h^2-0h=0. Logo y é C^1 e y'(0)=0. Substituindo em x,y'-2y em x=0 -2y(0)=0, que também se satisfaz pois y(0)=0.
Portanto essa função satisfaz a equação em todo (-infty,infty), e a afirmação de que “não é solução” é falsa.

Resposta

(a) V
(b) F

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