Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
Foco e diretriz .
Passo 1
O enunciado pede para determinar a parábola cujo foco é e cuja diretriz é a reta . Vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos tais que a distância de ao foco é igual à distância de à diretriz. Precisamos aplicar a fórmula da distância ponto-reta e a distância ponto-ponto.
Passo 2
Seja um ponto genérico da parábola.
Distância de ao foco:
O vértice V fica exatamente no ponto médio entre o foco e sua projeção ortogonal sobre a diretriz. Como o foco está em (0,-2) e a diretriz é y=2, o vértice tem coordenadas
Vl(0,tfrac-2+22r)=(0,0)
Passo 4
O eixo da parábola é a reta que contém o foco e o vértice e é perpendicular à diretriz. Como a diretriz é horizontal (y=2), o eixo é a reta vertical
x=0
A diretriz já está dada por
y=2
Passo 5
Para toda parábola a excentricidade vale
e=1
Passo 6
Esboço do gráfico: é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,0), foco em (0,-2) e diretriz y=2. O eixo é x=0 e a “boca” da parábola abre na direção decrescente de y.
Resposta
Equação: ,x^2+8y=0
Foco: F(0,-2)
Vértice: V(0,0)
Excentricidade: e=1
Eixo: x=0
Diretriz: y=2
Gráfico: parábola com boca voltada para baixo, vértice em (0,0), foco em (0,-2) e diretriz y=2.