Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
Foco F(0,-2) e diretriz r: y=2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a parábola cujo foco é F(0,-2) e cuja diretriz é a reta rcolon y=2. Vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos P(x,y) tais que a distância de P ao foco é igual à distância de P à diretriz. Precisamos aplicar a fórmula da distância ponto-reta e a distância ponto-ponto.

Passo 2

Seja P(x,y) um ponto genérico da parábola.
Distância de P ao foco:
d(F,P)=raiz(x-0)^2+(y+2)^2=raizx^2+(y+2)^2
Distância de P à diretriz y=2:
d(r,P)=l|y-2r|
Pela definição de parábola:
raizx^2+(y+2)^2=l|y-2r|
Elevando ao quadrado:
x^2+(y+2)^2=(y-2)^2 ;Longrightarrow; x^2+y^2+4y+4=y^2-4y+4 ;Longrightarrow; x^2+8y=0
Logo a equação cartesiana é
x^2+8y=0 Long<=ftrightarrow y=-x^28

Passo 3

O vértice V fica exatamente no ponto médio entre o foco e sua projeção ortogonal sobre a diretriz. Como o foco está em (0,-2) e a diretriz é y=2, o vértice tem coordenadas
Vl(0,tfrac-2+22r)=(0,0)

Passo 4

O eixo da parábola é a reta que contém o foco e o vértice e é perpendicular à diretriz. Como a diretriz é horizontal ( y=2), o eixo é a reta vertical
x=0
A diretriz já está dada por
y=2

Passo 5

Para toda parábola a excentricidade vale
e=1

Passo 6

Esboço do gráfico: é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,0), foco em (0,-2) e diretriz y=2. O eixo é x=0 e a “boca” da parábola abre na direção decrescente de y.

Resposta

Equação: ,x^2+8y=0
Foco: F(0,-2)
Vértice: V(0,0)
Excentricidade: e=1
Eixo: x=0
Diretriz: y=2
Gráfico: parábola com boca voltada para baixo, vértice em (0,0), foco em (0,-2) e diretriz y=2.

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