Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
Foco
e diretriz
.
Foco
Passo 1
O enunciado dá o foco
e a diretriz
de uma parábola. Vamos usar o fato de que a parábola é o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias ao foco e à diretriz são iguais. Precisaremos:
- Encontrar o vértice como ponto médio entre foco e diretriz.
- Escrever a equação a partir da igualdade de distâncias.
- Identificar os elementos principais (vértice, foco, excentricidade, eixo, diretriz).
- Esboçar o gráfico, sabendo que ela abre para a esquerda (foco está à esquerda da diretriz).
Passo 2
Para achar o vértice
, observamos que sua abscissa é o ponto médio entre
e a reta
. Logo,
e como foco e diretriz têm a mesma ordenada
, temos
A distância orientada
do vértice ao foco vale
indicando abertura para a esquerda.
Passo 3
Escrevemos a igualdade entre a distância de um ponto genérico
ao foco e à diretriz:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo e simplificando:
Reescrevendo em forma de vértice:
Passo 4
Agora, os elementos principais:
- Vértice:
. - Foco:
. - Diretriz:
. - Eixo de simetria: reta horizontal
. - Distância focal
(parábola abre para a esquerda). - Excentricidade: para parábola é sempre
.
Resposta
Equação:
Elementos principais:
Vértice
Foco
Diretriz
Eixo de simetria
Excentricidade
Abertura para a esquerda.
Vértice
Foco
Diretriz
Eixo de simetria
Excentricidade
Abertura para a esquerda.