Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
Foco F(-2,0) e diretriz r: x=4.

Passo 1

O enunciado dá o foco F(-2,0) e a diretriz r: x=4 de uma parábola. Vamos usar o fato de que a parábola é o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias ao foco e à diretriz são iguais. Precisaremos:
  1. Encontrar o vértice como ponto médio entre foco e diretriz.
  2. Escrever a equação a partir da igualdade de distâncias.
  3. Identificar os elementos principais (vértice, foco, excentricidade, eixo, diretriz).
  4. Esboçar o gráfico, sabendo que ela abre para a esquerda (foco está à esquerda da diretriz).

Passo 2

Para achar o vértice V, observamos que sua abscissa é o ponto médio entre xF=-2 e a reta x=4. Logo,
xV = -2 + 42 = 1,
e como foco e diretriz têm a mesma ordenada y=0, temos
V = (1,0)
A distância orientada p do vértice ao foco vale
p = xF - xV = -2 - 1 = -3,
indicando abertura para a esquerda.

Passo 3

Escrevemos a igualdade entre a distância de um ponto genérico (x,y) ao foco e à diretriz:
raiz(x+2)^2 + y^2 = |x - 4|
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(x+2)^2 + y^2 = (x-4)^2
Expandindo e simplificando:
x^2 + 4x +4 + y^2 = x^2 -8x +16 Longrightarrow 12x + y^2 -12 = 0 Longrightarrow y^2 = -12x + 12
Reescrevendo em forma de vértice:
y^2 = -12,(x - 1)

Passo 4

Agora, os elementos principais:
  • Vértice: V=(1,0).
  • Foco: F=(-2,0).
  • Diretriz: r: x=4.
  • Eixo de simetria: reta horizontal y=0.
  • Distância focal p=-3 (parábola abre para a esquerda).
  • Excentricidade: para parábola é sempre e=1.

Resposta

Equação:
y^2 = -12,(x - 1)
Elementos principais:
Vértice V=(1,0)
Foco F=(-2,0)
Diretriz r: x=4
Eixo de simetria y=0
Excentricidade e=1
Abertura para a esquerda.

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