1. Se alpha é o ângulo agudo de inclinação de uma assíntota da hipérbole x^2a^2-y^2b^2=1, mostre que a excentricidade da hipérbole é sec alpha.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
x^2a^2-y^2b^2=1
e pede para mostrar que, se alpha é o ângulo agudo que uma de suas assíntotas faz com o eixo x, então a excentricidade e satisfaz e=secalpha. Vamos precisar (i) encontrar a inclinação das assíntotas e relacioná-la a alpha e (ii) usar a definição de excentricidade de uma hipérbole.

Passo 2

Para achar as assíntotas, escrevemos y=mx na equação e, dividindo tudo por x^2, obtemos
1a^2 - m^2b^2 = 1x^2to 0(xtoinfty),
de onde
1a^2 - m^2b^2=0 Rightarrow m^2=b^2a^2 Rightarrow m=pmba
Portanto as assíntotas são
y=pmba,x

Passo 3

O ângulo agudo alpha que a assíntota positiva faz com o eixo x satisfaz
tanalpha = ba

Passo 4

A excentricidade de uma hipérbole x^2a^2-y^2b^2=1 é
e = raiz1+b^2a^2
Usando tanalpha = b/a, temos
e = raiz1+tan^2alpha = secalpha

Resposta

A excentricidade da hipérbole é e=secalpha.

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