- Se
é o ângulo agudo de inclinação de uma assíntota da hipérbole
, mostre que a excentricidade da hipérbole é
.
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e pede para mostrar que, se
é o ângulo agudo que uma de suas assíntotas faz com o eixo
, então a excentricidade
satisfaz
. Vamos precisar (i) encontrar a inclinação das assíntotas e relacioná-la a
e (ii) usar a definição de excentricidade de uma hipérbole.
Passo 2
Para achar as assíntotas, escrevemos
na equação e, dividindo tudo por
, obtemos
de onde
Portanto as assíntotas são
Passo 3
O ângulo agudo
que a assíntota positiva faz com o eixo
satisfaz
Passo 4
A excentricidade de uma hipérbole
é
Usando
, temos
Resposta
A excentricidade da hipérbole é
.